TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 32

Man finde alle sechsten Wurzeln von $z=-27$ in $ℂ$ und stelle sie in der Graußschen Zahlenebene dar.

Hilfreiches

https://www.youtube.com/watch?v=VQx6QfRb_Eg

Lösungsvorschlag von Jozott

Zuerst ist es nötig von der Komponenten-Darstellung in die Polarform zu konvertieren.

Der Betrag $|z|$ kann nur positiv sein, daher ist es möglich $|z|=\sqrt{27^2+0^2}$ zu verwenden, da $a=-27\wedge b=0$.

$|z|=\sqrt[6]{27}=\sqrt[6]{3^3}=\sqrt{3}$

Da $a$negativ ist, und somit auf der negativen x-Achse liegt, ist der Winkel $\varphi =180^{\circ }=\pi$.

Die allgemeine Form für alle n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl in Polarform ist:

$w_j=[\sqrt[n]{R},\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi j}{n}]$

Wie müssen nur noch einsetzen für $w_0$ bis $w_5$:

$w_0=[\sqrt{3},\frac{\pi }{6}]$

$w_1=[\sqrt{3},\frac{3\pi }{6}]$

$w_2=[\sqrt{3},\frac{5\pi }{6}]$

$w_3=[\sqrt{3},\frac{7\pi }{6}]$

$w_4=[\sqrt{3},\frac{9\pi }{6}]$

$w_5=[\sqrt{3},\frac{11\pi }{6}]$

Um das ganze auf der Graußschen Zahlenebene darzustellen zieht man praktisch einfach einen Kreis mir dem Radius $\sqrt{3}$ und zeichnet $w_0$mit $\varphi =\frac{\pi }{6}=30^{\circ }$.

Alle zu jeder weiteren Wurzel wird zu $\varphi$ $\frac{2\pi }{6}=60^{\circ }$ dazu addiert.