TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 32

Man finde alle sechsten Wurzeln von $z=-27$ in $\mathbb {C}$ und stelle sie in der Graußschen Zahlenebene dar.

Hilfreiches

https://www.youtube.com/watch?v=VQx6QfRb_Eg

Lösungsvorschlag von Jozott

Zuerst ist es nötig von der Komponenten-Darstellung in die Polarform zu konvertieren.

Der Betrag $|z|$ kann nur positiv sein, daher ist es möglich $|z|={\sqrt {27^{2}+0^{2}}}$ zu verwenden, da $a=-27\wedge b=0$.

$|z|={\sqrt[{6}]{27}}={\sqrt[{6}]{3^{3}}}={\sqrt {3}}$

Da $a$negativ ist, und somit auf der negativen x-Achse liegt, ist der Winkel $\phi =180^{\circ }=\pi$.

Die allgemeine Form für alle n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl in Polarform ist:

$w_{j}=[{\sqrt[{n}]{R}},{\frac {\phi }{n}}+{\frac {2\pi j}{n}}]$

Wie müssen nur noch einsetzen für $w_{0}$ bis $w_{5}$:

$w_{0}=[{\sqrt {3}},{\frac {\pi }{6}}]$

$w_{1}=[{\sqrt {3}},{\frac {3\pi }{6}}]$

$w_{2}=[{\sqrt {3}},{\frac {5\pi }{6}}]$

$w_{3}=[{\sqrt {3}},{\frac {7\pi }{6}}]$

$w_{4}=[{\sqrt {3}},{\frac {9\pi }{6}}]$

$w_{5}=[{\sqrt {3}},{\frac {11\pi }{6}}]$

Um das ganze auf der Graußschen Zahlenebene darzustellen zieht man praktisch einfach einen Kreis mir dem Radius ${\sqrt {3}}$ und zeichnet $w_{0}$mit $\phi ={\frac {\pi }{6}}=30^{\circ }$.

Alle zu jeder weiteren Wurzel wird zu $\phi$ ${\frac {2\pi }{6}}=60^{\circ }$ dazu addiert.