Untersuchen Sie, ob die Menge
mit der Operation
ein Gruppoid, eine Halbgruppe,
ein Monoid bzw. eine Gruppe ist: ![{\displaystyle M=\{0,1,2,3\},m\circ n=min(mn,3)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9353323d92af340de2ba4f69065eacaa&mode=mathml)
![{\displaystyle \forall m,n\in M:mn>3\,\,\to \,\,min(mn,3)=3\in M\,\,\to \,\,Abgeschlossen}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d77267878d8f6f1a43d85394557f1aa3&mode=mathml)
![{\displaystyle (m\circ n)\circ k=(min(mn,3))\circ k=min(min(mn,3)k,3)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=584c93502cf423f59bac38d6e0b17c27&mode=mathml)
![{\displaystyle m\circ (n\circ k)=m\circ (min(nk,3))=min(m(min(nk,3)),3)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=436851c5f7452e4e709a68d3ed875e7c&mode=mathml)
Sei
bzw.
(Damit wären alle Möglichkeiten abgedeckt, weil wenn irgendeine der Variablen 0 ist, dann ergibt der Gesamtausdruck ebenfalls immer 0:
)
![{\displaystyle (0\circ 1)\circ 2=0\Leftrightarrow 0\circ (1\circ 2)=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1db9e0c177e91c7bd7b3444decec12d5&mode=mathml)
![{\displaystyle (1\circ 2)\circ 3=3\Leftrightarrow 1\circ (2\circ 3)=3}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e861861341c512a1302d8a44005a0aa3&mode=mathml)
![{\displaystyle \to Assoziativ}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b85161f849ba8a4e9c6afd53c437fffd&mode=mathml)
![{\displaystyle a\circ e=e\circ a=a\,\,\to \,\,m\circ e=min(me,3)=m\,\,\to e=1\,\,\to \,\,Neutrales\,Element\,existsiert}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=22cddaf54c0badb5ea4703798f78a354&mode=mathml)
![{\displaystyle a\circ a'=e\,\,\to \,\,m\circ m'=min(mm',3)=1\,\,\to \,\,m*m'=1;m'={\frac {1}{m}}\notin M\,\,\to \,\,kein\,Inverses\,Element\,in\,M}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=de3a0fe15ca73e5896935757c86dd8e6&mode=mathml)
Da die Abgeschlossenheit, Assoziativität und die Existenz eines neutralen Elements erfüllt sind, handelt es sich hierbei um ein Monoid.