TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 343

Untersuchen Sie, ob die Menge $M$ mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist: $M=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\},z_{1}\circ z_{2}=z_{1}z_{2}$

Lösungsvorschlag von neo

$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=1\to a^{2}+b^{2}=1$
Alle komplexen Zahlen, auf welche das zutrifft sind:
$z=1\pm +0i$ bzw. $z=0\pm 1i$

Edit: Glaube nicht, dass das zutrifft, da a,b Element von den reellen Zahlen sind.

$\forall z_{1}z_{2}\in M:z_{1}\circ z_{2}=z_{1}z_{2}\in M$ trifft zu, da entweder Realteile oder Imaginärteile miteinander mulitpliziert werden.
$\pm 1^{2}=1\to a^{2}+b^{2}=1\to {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=1$

$\to abgeschlossen$

$(z_{1}\circ z_{2})\circ z_{3}=z_{1}z_{2}\circ z_{3}=z_{1}z_{2}z_{3}$
$z_{1}\circ (z_{2}\circ z_{3})=z_{1}\circ z_{2}z_{3}=z_{1}z_{2}z_{3}$
$\to assoziativ$

$z\circ e=e\circ z=z\,\,\to \,\,e=1$
$\to neutralesElement$

$a\circ a'=ea\circ a'=1\to zz'=1\to z'={\frac {1}{z}}$
${\frac {1}{z}}={\frac {1}{z}}{\frac {\bar {z}}{\bar {z}}}={\frac {\bar {z}}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {\bar {z}}{1}}={\bar {z}}\in M$
$\to InversesElement$

$\Rightarrow Gruppe$