TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 346

Untersuchen Sie, ob die Menge $M$ mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist: $M=\{z\in ℂ\mid |z|=2\},z_1\circ z_2=z_1{z}_2$

Lösungsvorschlag von neo

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Hier werden wieder wie bei Beispiel 138 nur Realteile bzw. Imaginärteile miteinander multipliziert.
Alle Möglichkeiten, für welche gilt $|z|=2$
$\pm 2\pm 0i$ bzw. $0\pm 2i\to (\pm 2{)}^2=4=a^2+b^2$
$\pm \sqrt{2}\pm \sqrt{2}i\to (\pm \sqrt{2}{)}^2=2\to 2+2=4=a^2+b^2$

Bei jede dieser Zahlen gilt also: $(a=0\wedge b=2)\vee (a=2\wedge b=0)\vee (a=\sqrt{2}\wedge b=\sqrt{2})$
Wenn man nun diese Zahlen miteinander multipliziert, gibt es zwei Möglichkeiten:
$z_1{z}_2\in M\to (\pm 2{)}^2\to \sqrt{4^2+0^2}=4=|z|\to a=0,b=4\vee a=4,b=0\to \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16}=4\notin M$
$z_1{z}_2\in M\to (\pm \sqrt{2}{)}^2+(\pm \sqrt{2}{)}^2=2+2=4=|z|\to a=2,b=2\to \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{8}\notin M$
$\Rightarrow keinGruppoid$