TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 394

Man bestimme alle Untergruppen der $(\mathbb {Z} _{19},+)$.

Hilfreiches

Satz von Lagrange:
Ist $(G,\circ )$ endliche Gruppe, so ist die Ordnung $|U|$ einer Untergruppe $U\leq G$ stets Teiler der Gruppenordnung $|G|$, und es gilt $|G:U|=|G|/|U|$.

Triviale Untergruppe:
Jede Gruppe $G$ besitzt die Untergruppen $\{e\}\leq G$ und $G\leq G$.

Lösungsvorschlag von neo

Da $|\mathbb {Z} _{19}|=19$ eine Primzahl ist, besitzt sie nur die trivialen Untergruppen $U_{1}=\{e\}={\overline {0}}$ und $U_{2}=\mathbb {Z} _{19}$.