TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 407

Sei $(\Gamma _{18},*)$ die Gruppe aus Bsp. 399). Man bestimme die vom Element ${\overline {7}}$ erzeugte Untergruppe sowie deren Nebenklassen in $\Gamma _{18}$.

Lösungsvorschlag von neo

$\Gamma _{18}=\{{\overline {1}},{\overline {5}},{\overline {7}},{\overline {11}},{\overline {13}},{\overline {17}}\}$
$U=\{{\overline {7}},{\overline {13}},{\overline {1}}\}$
$U$ ist assoziativ, da die Assoziativität in ganz $\Gamma _{18}$ gilt.

${\overline {1}}*{\overline {1}}={\overline {1}}$
${\overline {1}}*{\overline {7}}={\overline {7}}$
${\overline {1}}*{\overline {13}}={\overline {13}}$
${\overline {7}}*{\overline {13}}={\overline {1}}$
${\overline {7}}*{\overline {7}}={\overline {13}}$
${\overline {13}}*{\overline {13}}={\overline {7}}$
$\Rightarrow abgeschlossen$

${\overline {1}}*{\overline {1}}={\overline {1}}$
${\overline {1}}*{\overline {7}}={\overline {7}}$
${\overline {1}}*{\overline {13}}={\overline {13}}$
$e={\overline {1}}\Rightarrow neutrales\,Element$

$({\overline {1}})^{-1}={\overline {1}}$
$({\overline {7}})^{-1}={\overline {13}}$
$({\overline {13}})^{-1}={\overline {7}}$
$\Rightarrow inverse\,Elemente\,existieren$

Damit ist bewiesen, dass $U$ eine Gruppe ist, welche von ${\overline {7}}$ erzeugt wurde.

${\overline {1}}\circ U={\overline {7}}\circ U={\overline {13}}\circ U=\{{\overline {1}},{\overline {7}}\,{\overline {13}}\}$
${\overline {5}}\circ U={\overline {11}}\circ U={\overline {13}}\circ U=\{{\overline {5}},{\overline {11}},{\overline {13}}\}$
$L=\{\{{\overline {1}},{\overline {7}}\},\{{\overline {13}}\},\{{\overline {5}},{\overline {11}}\},\{{\overline {17}}\}$

Da die Restklassenmultiplikation kommumativ ist, entspricht die Linksnebenklasse der Rechtsnebenklasse.
$U$ ist Normalteiler von $\Gamma _{18}\Leftrightarrow U\trianglelefteq \Gamma _{18}$