TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 407

Sei $({\Gamma }_{18},\ast )$ die Gruppe aus Bsp. 399). Man bestimme die vom Element $\bar{7}$ erzeugte Untergruppe sowie deren Nebenklassen in ${\Gamma }_{18}$.

Lösungsvorschlag von neo

${\Gamma }_{18}=\{\bar{1},\bar{5},\bar{7},\overline{11},\overline{13},\overline{17}\}$
$U=\{\bar{7},\overline{13},\bar{1}\}$
$U$ ist assoziativ, da die Assoziativität in ganz ${\Gamma }_{18}$ gilt.

$\bar{1}\ast \bar{1}=\bar{1}$
$\bar{1}\ast \bar{7}=\bar{7}$
$\bar{1}\ast \overline{13}=\overline{13}$
$\bar{7}\ast \overline{13}=\bar{1}$
$\bar{7}\ast \bar{7}=\overline{13}$
$\overline{13}\ast \overline{13}=\bar{7}$
$\Rightarrow abgeschlossen$

$\bar{1}\ast \bar{1}=\bar{1}$
$\bar{1}\ast \bar{7}=\bar{7}$
$\bar{1}\ast \overline{13}=\overline{13}$
$e=\bar{1}\Rightarrow neutralesElement$

$(\bar{1}{)}^{-1}=\bar{1}$
$(\bar{7}{)}^{-1}=\overline{13}$
$(\overline{13}{)}^{-1}=\bar{7}$
$\Rightarrow inverseElementeexistieren$

Damit ist bewiesen, dass $U$ eine Gruppe ist, welche von $\bar{7}$ erzeugt wurde.

$\bar{1}\circ U=\bar{7}\circ U=\overline{13}\circ U=\{\bar{1},\bar{7}\overline{13}\}$
$\bar{5}\circ U=\overline{11}\circ U=\overline{13}\circ U=\{\bar{5},\overline{11},\overline{13}\}$
$L=\{\{\bar{1},\bar{7}\},\{\overline{13}\},\{\bar{5},\overline{11}\},\{\overline{17}\}$

Da die Restklassenmultiplikation kommumativ ist, entspricht die Linksnebenklasse der Rechtsnebenklasse.
$U$ ist Normalteiler von ${\Gamma }_{18}\iff U⊴{\Gamma }_{18}$