TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 421

Von der Menge $K\subseteq \mathbb {C}$ sei bekannt: $i)\mathbb {R} \subseteq K,\,ii)1-i\in K$ und $iii)(K,+,*)$ ist ein Körper (mit der Addition bzw. Multiplikation aus $\mathbb {C}$). Zeigen Sie, dass $\mathbb {=} \mathbb {C}$ sein muss.

Lösungsvorschlag von neo

Komplexe Zahlen:
Enthalten die reellen Zahlen.
Für die Addition und Multiplikation gelten Assoziativ- und Kommutativgesetz.
Das Distributivgesetz gilt.
Für jede komplexe Zahl $x$ existiert eine komplexe Zahl $-x$, sodass $x+(-x)=0$.
Für jede von null verschiedene komplexe Zahl $x$ existiert eine komplexe Zahl ${\frac {1}{x}}$, sodass $x*{\frac {1}{x}}=1$.
Es existiert eine komplexe Zahl $i$ mit der Eigenschaft $i^{2}=1$.

$\mathbb {R} \subseteq K$ (Angabe)
Assoziativ-,Kommutativ- und Distributivgesetz gilt, weil $(K,+,*)$ ein Körper ist.

$1\in K\to -1\in K$
$(1-i)+(-1)=-i\to -i\in K$
$-i\in K\to -i+(-i)^{-1}=0\to -i^{-1}=i\to i\in K$
Da $i\in K$, kann man nun jede Zahl mit $i$ addieren und multiplizieren und somit alle komplexen Zahlen erschaffen. $\Rightarrow K=\mathbb {C}$