Sei
ein beliebiger Ring und
. Weiters sei
die Menge aller Ideale von
, die
umfassen. Zeigen Sie:
ist das kleinste Ideal von
, das
umfasst.
Ein Ideal
ist eine Teilmenge eines Ringes
für die gilt:
![{\displaystyle 0\in I}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=152113aa35a3faf8a86c614cd4976d28&mode=mathml)
![{\displaystyle \forall a,b\in I:a+b\in I}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5d5756c25f9c22d701775b8c34f569e8&mode=mathml)
![{\displaystyle \forall a\in I:\forall r\in R:ar\in I,ra\in I}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=249701a81063176591d2fc71cae27797&mode=mathml)
Zuerst beweist man, dass der Durchschnitt von zwei Idealen ebenfalls ein Ideal ist. Seien
zwei Ideale (
Nullelement):
![{\displaystyle a_{0}\in I_{1},a_{0}\in I_{2}\Rightarrow a_{0}\in I_{1}\cap I_{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d10e7494bf9d4dd7aeceb07da99c5589&mode=mathml)
![{\displaystyle \forall a,b\in I_{1}\cap I_{2}:a+b\in I_{1}\cap I_{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=565f5351f5e9ab07d54f5c58e1924a3f&mode=mathml)
Wahr, denn
bzw.
und wenn eine Eigenschaft für alle Elemente einer Menge gilt, dann gilt sie auch für einen Teil davon.
![{\displaystyle \forall a\in I_{1}\cap I_{2}:\forall r\in R:ar\in I_{1}\cap I_{2},ra\in I_{1}\cap I_{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b5bfd4de270853130422ca654b3437d8&mode=mathml)
Wahr mit der selben Argumentation wie oben.
Also ist der Durchschnitt von zwei Idealen wieder ein Ideal.
Da alle Elemente aus
die Menge
enthalten, gilt:
![{\displaystyle \forall I\in I(A):A\in I\Rightarrow \cap _{I\in I(A)}{I}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e45791ceadd508282c5f18a938587904&mode=mathml)
Wenn alle Elemente
enthalten, dann enthält auch der Durchschnitt aller Elemente
.
![{\displaystyle \forall I_{1},I_{2}\in I(A):I_{1}\cap I_{2}\subseteq I_{1},I_{1}\cap I_{2}\subseteq I_{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e357adece204dc64590c3c4f8a28ea1a&mode=mathml)
Der Durschnitt von zwei Mengen ist immer kleiner-gleich der kleineren Menge der beiden Mengen. Also folgt daraus:
enthält
und ist gleichzeitig das kleinste Ideal, welches
enthält.