TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 440

Sei $(R,+,\ast )$ ein beliebiger Ring und $A\subseteq R$. Weiters sei $I(A)$ die Menge aller Ideale von $R$, die $A$ umfassen. Zeigen Sie: ${\cap }_{I\in I(A)}I$ ist das kleinste Ideal von $R$, das $A$ umfasst.

Hilfreiches

Ein Ideal $I$ ist eine Teilmenge eines Ringes $R$ für die gilt:
$0\in I$
$\mathrm{\forall }a,b\in I:a+b\in I$
$\mathrm{\forall }a\in I:\mathrm{\forall }r\in R:ar\in I,ra\in I$

Lösungsvorschlag von neo

Zuerst beweist man, dass der Durchschnitt von zwei Idealen ebenfalls ein Ideal ist. Seien $I_1,I_2$ zwei Ideale ($a_0\widehat{=}$Nullelement):
$a_0\in I_1,a_0\in I_2\Rightarrow a_0\in I_1\cap I_2$
$\mathrm{\forall }a,b\in I_1\cap I_2:a+b\in I_1\cap I_2$
Wahr, denn $I_1\cap I_2\subseteq I_1$ bzw. $I_2$ und wenn eine Eigenschaft für alle Elemente einer Menge gilt, dann gilt sie auch für einen Teil davon.
$\mathrm{\forall }a\in I_1\cap I_2:\mathrm{\forall }r\in R:ar\in I_1\cap I_2,ra\in I_1\cap I_2$
Wahr mit der selben Argumentation wie oben.
Also ist der Durchschnitt von zwei Idealen wieder ein Ideal.

Da alle Elemente aus $I(A)$ die Menge $A$ enthalten, gilt:
$\mathrm{\forall }I\in I(A):A\in I\Rightarrow {\cap }_{I\in I(A)}I$
Wenn alle Elemente $A$ enthalten, dann enthält auch der Durchschnitt aller Elemente $A$.

$\mathrm{\forall }{I}_1,I_2\in I(A):I_1\cap I_2\subseteq I_1,I_1\cap I_2\subseteq I_2$
$\Rightarrow$ Der Durschnitt von zwei Mengen ist immer kleiner-gleich der kleineren Menge der beiden Mengen. Also folgt daraus:
$\Rightarrow {\cap }_{I\in I(A)}I$ enthält $A$ und ist gleichzeitig das kleinste Ideal, welches $A$ enthält.$◻$