Zeigen Sie: (vgl. Aufgabe 406)) bildet mit den in ausgeführten Operationen Addition und Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über .
Wir müssen also zeigen, dass einen Vektorraum über bildet, mit der gewöhnlichen Addition bzw. Multiplikation. Um das zu zeigen, müssen wir zuerst beweisen, dass eine abelsche Gruppe darstellt und anschließend die vektorielle und skalare Distirbutivität, die skalare Assoziativität und auch die Existenz eines neutralen Elements bezüglich der skalaren Multiplikation. Also, als erstes kommt der Beweis einer abelschen Gruppe dran:
Addition abgeschlossen
assoziativ
neutrales Element
kommutativ
inverse Elemente
Nun wurde bewiesen, dass eine abelsche Gruppe ist. Jetzt fehlen noch vektorielle und skalare Distirbutivität, die skalare Assoziativität und die Existenz eines neutralen Elements bezüglich der skalaren Multiplikation, um diese Struktur auf einen Vektorraum zu ergänzen.
vektorielle Distributivität
skalare Distributivität
skalare Assoziativität
Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation in ist . Daher nehmen wir ihn als Skalar und multiplizieren damit einen Vektor.
neutrales Element bezüglich der skalaren Multiplikation
Damit sollte bewiesen sein, dass einen Vektorraum darstellt.