Zeigen Sie:
(vgl. Aufgabe 406)) bildet mit den in
ausgeführten Operationen Addition und Produkt mit einem Skalar einen Vektorraum über
.
![{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]=\{a+b{\sqrt {5}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=be7ed915a130ba7ef02a1140a7aeddf2&mode=mathml)
Wir müssen also zeigen, dass
einen Vektorraum über
bildet, mit der gewöhnlichen Addition bzw. Multiplikation. Um das zu zeigen, müssen wir zuerst beweisen, dass
eine abelsche Gruppe darstellt und anschließend die vektorielle und skalare Distirbutivität, die skalare Assoziativität und auch die Existenz eines neutralen Elements bezüglich der skalaren Multiplikation. Also, als erstes kommt der Beweis einer abelschen Gruppe dran:
![{\displaystyle (\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}],+):}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6abdb671f01b7c7b04dad8d580f87ce5&mode=mathml)
![{\displaystyle (a+b{\sqrt {5}})+(c+d{\sqrt {5}})=a+c+{\sqrt {5}}(b+d)\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3f56229c2c706787b30aa93232bb1977&mode=mathml)
Addition abgeschlossen
![{\displaystyle ((a+b{\sqrt {5}})+(c+d{\sqrt {5}}))+(e+f{\sqrt {5}})=((a+c+{\sqrt {5}}(b+d)+(e+f{\sqrt {5}})=a+c+e+{\sqrt {5}}(b+d+f)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9b16707c27beefbfefcd129c179a12d1&mode=mathml)
![{\displaystyle (a+b{\sqrt {5}})+((c+d{\sqrt {5}})+(e+f{\sqrt {5}}))=(a+b{\sqrt {5}})+(c+e+{\sqrt {5}}(d+f))=a+c+e+{\sqrt {5}}(b+d+f)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b22312d07850f78f359a3ea77d95c004&mode=mathml)
assoziativ
![{\displaystyle 0+0{\sqrt {5}}=0\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9e693d1beceac0df0174d56094ab9edb&mode=mathml)
![{\displaystyle \forall q\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]:q+0=(q_{1}+{\sqrt {5}}q_{2})+0=q_{1}+{\sqrt {5}}q_{2}=q}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=66285b1a9c02a51cf4313d2ef8b7c817&mode=mathml)
neutrales Element
![{\displaystyle (a+{\sqrt {5}}b)+(c+{\sqrt {5}}d)=a+c+{\sqrt {5}}(b+d)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0ed027802df23e0a219daea2b580e2e4&mode=mathml)
![{\displaystyle (c+{\sqrt {5}}d)+(a+{\sqrt {5}}b)=c+a+{\sqrt {5}}(d+b)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=79aa3600cf8958bb097a5759988f4745&mode=mathml)
kommutativ
![{\displaystyle (a+{\sqrt {5}}b)+(c+{\sqrt {5}}d)=0\to a+{\sqrt {5}}b=-c+{\sqrt {5}}(-d)\,\,c,d\in \mathbb {Q} \to -c+{\sqrt {5}}(-d)\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9e9c8e1cabdefad8abe6d2348db2339f&mode=mathml)
inverse Elemente
Nun wurde bewiesen, dass
eine abelsche Gruppe ist. Jetzt fehlen noch vektorielle und skalare Distirbutivität, die skalare Assoziativität und die Existenz eines neutralen Elements bezüglich der skalaren Multiplikation, um diese Struktur auf einen Vektorraum zu ergänzen.
![{\displaystyle \lambda \in \mathbb {Q} ,a,b\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fae1a0f36513b17b373925158f690773&mode=mathml)
![{\displaystyle \lambda (a+b)=\lambda ((a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})+(b_{1}+{\sqrt {5}}b_{2}))=\lambda (a_{1}+b_{1}+{\sqrt {5}}(a_{2}+b_{2}))=\lambda (a_{1}+b_{1})+\lambda ({\sqrt {5}}(a_{2}+b_{2}))}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3ff4108e61e3211d3561e913cf1763be&mode=mathml)
![{\displaystyle \lambda a+\lambda b=\lambda (a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})+\lambda (b_{1}+{\sqrt {5}}b_{2})=\lambda a_{1}+\lambda {\sqrt {5}}a_{2}+\lambda b_{1}+\lambda {\sqrt {5}}b_{2}=\lambda (a_{1}+b_{1})+\lambda ({\sqrt {5}}(a_{2}+b_{2}))}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8659d0e15e921b10a9f94fb8805d910b&mode=mathml)
vektorielle Distributivität
![{\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {Q} ,a\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=069b180f39d621f5eebe4c0df7033471&mode=mathml)
![{\displaystyle (\lambda +\mu )a=(\lambda +\mu )(a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})=\lambda a_{1}+\lambda {\sqrt {5}}a_{2}+\mu a_{1}+\mu {\sqrt {5}}a_{2}=\lambda (a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})+\mu (a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})=\lambda a+\mu a}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1b6f8ffa334a6d2841db28cf25e1d841&mode=mathml)
skalare Distributivität
![{\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {Q} ,a\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=069b180f39d621f5eebe4c0df7033471&mode=mathml)
![{\displaystyle (\lambda \mu )a=(\lambda \mu )(a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})=\lambda \mu a_{1}+\lambda \mu {\sqrt {5}}a_{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c20e4200387ec6c6acd668bccf884743&mode=mathml)
![{\displaystyle \lambda (\mu a)=\lambda (\mu (a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2}))=\lambda (\mu a_{1}+\mu {\sqrt {5}}a_{2})=\lambda \mu a_{1}+\lambda \mu {\sqrt {5}}a_{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5c7098b9363890ec2d2a09203e0388f5&mode=mathml)
skalare Assoziativität
Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation in
ist
. Daher nehmen wir ihn als Skalar und multiplizieren damit einen Vektor.
![{\displaystyle a\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d9816301961d6d7000c91dbb07848af6&mode=mathml)
![{\displaystyle 1a=1(a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2})=a_{1}+{\sqrt {5}}a_{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5ec11c5d6d9e01dec0ecfa37e0ba8351&mode=mathml)
neutrales Element bezüglich der skalaren Multiplikation
Damit sollte bewiesen sein, dass
einen Vektorraum darstellt.