TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 217

Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen Differenzengleichung $x_{n+1}=3^{2n}x_{n}+3^{n^{2}},n=0,1,2,...$

Hilfreiches

Lösung einer inhomogenen Gleichung ist gegeben durch $x_{n}=x_{n}^{(h)}+x_{n}^{(p)}$, wobei $x_{n}^{(h)}$ die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung $x_{n+1}=a_{n}x_{n}$ und $x_{n}^{(p)}$ eine beliebige partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ist.

Lösungsvorschlag von neo

Hier haben wir es also mit einer inhomogenen linearen Differenzengleichung erster Ordnung zu tun. Zuerst die homogene Lösung berechnen:
$x_{n+1}^{(h)}=3^{2n}x_{n}=x_{0}\prod _{i=0}^{n}{3^{2i}}($Man rechnet immer $3^{2*0}*3^{2*1}*3^{2*2}...*3^{2*n}\to \prod _{i=0}^{n}{3^{2i}}$)
$\to x_{0}=C\to x_{n}^{(h)}=C\prod _{i=0}^{n-1}{3^{2i}}$
Nun, wie im Buch 4.Auflage auf Seite 290/291 beschrieben macht man Variation der Konstanten. Dabei setzt man $C=C_{n}$ und anschließend wird die partikuläre Lösung in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt.
$x_{n}^{(p)}=C_{n}\prod _{i=0}^{n-1}{3^{2i}}\to$ Einsetzen in $x_{n+1}=3^{2n}x_{n}+3^{n^{2}}$
$C_{n+1}\prod _{i=0}^{n}{3^{2i}}=C_{n}\prod _{i=0}^{n-1}{3^{2i}}*3^{2n}+3^{n^{2}}\to C_{n+1}\prod _{i=0}^{n}{3^{2i}}=C_{n}\prod _{i=0}^{n}{3^{2i}}+3^{n^{2}}\to C_{n+1}=C_{n}+3^{n^{2}}$ [*]
Man sieht hier, das sich $C_{n}$ durch das Aufsummieren von $3^{0^{2}}+3^{1^{2}}+3^{2^{2}}+...+3^{(n-1)^{2}}$ ergibt.
$C_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}{3^{i^{2}}}$ (Sollte jemand eine Formel für diesen Ausdruck finden wäre das optimal)
Hiermit haben wir eine partikuläre Lösung: $x_{n}^{(p)}=C_{n}\prod _{i=0}^{n-1}{3^{2i}}=\sum _{i=0}^{n-1}{3^{i^{2}}}\prod _{i=0}^{n-1}{2^{2i}}$
Nun die allgemeine Lösung und die partikuläre Lösung zusammenrechnen.

$x_{n}=x_{n}^{(h)}+x_{n}^{(p)}=C\prod _{i=0}^{n-1}{3^{2i}}+\sum _{i=0}^{n-1}{3^{i^{2}}}\prod _{i=0}^{n-1}{3^{2i}}=\prod _{i=0}^{n-1}{3^{2i}}(C+\sum _{i=0}^{n-1}{3^{i^{2}}})$

[*] Frage: Warum kann man hier einfach das Produkt weg kürzen?