TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 345

Untersuchen Sie, ob die Menge $M$ mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist: $M = {z \in ℂ ∣ | z | = 1}, z_{1} \circ z_{2} = z_{1} z_{2}$

Hilfreiches

Lösungsvorschlag von neo

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 1 \to a^{2} + b^{2} = 1$
Alle komplexen Zahlen, auf welche das zutrifft sind:
$z = 1 \pm + 0 i$ bzw. $z = 0 \pm 1 i$

Edit: Glaube nicht, dass das zutrifft, da a,b Element von den reellen Zahlen sind.

$\forall z_{1} z_{2} \in M : z_{1} \circ z_{2} = z_{1} z_{2} \in M$ trifft zu, da entweder Realteile oder Imaginärteile miteinander mulitpliziert werden.
$\pm 1^{2} = 1 \to a^{2} + b^{2} = 1 \to \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 1$

$\to a b g e s c h l o s s e n$

$(z_{1} \circ z_{2}) \circ z_{3} = z_{1} z_{2} \circ z_{3} = z_{1} z_{2} z_{3}$
$z_{1} \circ (z_{2} \circ z_{3}) = z_{1} \circ z_{2} z_{3} = z_{1} z_{2} z_{3}$
$\to a s s o z i a t i v$

$z \circ e = e \circ z = z \to e = 1$
$\to n e u t r a l e s E l e m e n t$

$a \circ a^{'} = e a \circ a^{'} = 1 \to z z^{'} = 1 \to z^{'} = \frac{1}{z}$
$\frac{1}{z} = \frac{1}{z} \frac{\bar{z}}{\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{a^{2} + b^{2}} = \frac{\bar{z}}{1} = \bar{z} \in M$
$\to I n v e r s e s E l e m e n t$

$\Rightarrow G r u p p e$

TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 345

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