TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 351

Untersuchen Sie, ob die Menge $M$ mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist: $M=\{x\in \mathbb {Q} \mid x\geq 0\},a\circ b={\frac {a+b}{1+ab}}$

Lösungsvorschlag von neo

Sei $x_{1}={\frac {a}{k}},x_{2}={\frac {b}{j}}\to {\frac {{\frac {a}{k}}+{\frac {b}{j}}}{1+{\frac {a}{k}}{\frac {b}{j}}}}={\frac {{\frac {a}{k}}+{\frac {b}{j}}}{1+{\frac {ab}{kj}}}}={\frac {\frac {aj+bk}{kj}}{\frac {kj+ab}{kj}}}={\frac {(aj+bk)kj}{(kj+ab)kj}}={\frac {aj+bk}{kj+ab}}\in \mathbb {Q} \Rightarrow abgeschlossen$

$(a\circ b)\circ c=({\frac {a+b}{1+ab}})\circ c={\frac {{\frac {a+b}{1+ab}}+c}{1+{\frac {a+b}{1+ab}}c}}={\frac {\frac {a+b+c+abc}{1+ab}}{\frac {1+ab+ac+bc}{1+ab}}}={\frac {(1+ab)(a+b+c+abc)}{(1+ab)(1+ab+ac+bc)}}={\frac {a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc}}$

$a\circ (b\circ c)=a\circ ({\frac {b+c}{1+bc}})={\frac {a+{\frac {b+c}{1+bc}}}{1+a{\frac {b+c}{1+bc}}}}={\frac {\frac {a+abc+b+c}{1+bc}}{\frac {1+bc+ab+ac}{1+bc}}}={\frac {(1+bc)(a+abc+b+c)}{(1+bc)(1+bc+ab+ac)}}={\frac {a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc}}$

$\Rightarrow assoziativ$

unvollständig..

e = 0

a' = -a

=> (abelsche) Gruppe