TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 393

Man bestimme alle Untergruppen der $(\mathbb {Z} _{18},+)$.

Hilfreiches

Man kann die Untergruppen bei Restklassen herausfinden, indem man die Teiler der Ordnung der gegebenen Gruppe sucht und anschließend alle Vielfachen jeweils von den Teilern in einer Untergruppe zusammenfasst. (Siehe Bsp. 386)

Lösungsvorschlag von neo

$\mathbb {Z} =18=1*2*3^{2}\to$Teiler von 18:$1,2,3,6,9,18$
Möchte man eine n-elementige Untergruppe, so muss man innerhalb der Untergruppe alle Vielfachen der Zahl k (n*k=18) aufschreiben.
$U_{1}=\mathbb {Z} _{18}$
$U_{2}={\overline {0}}$
$U_{3}=\{{\overline {0}},{\overline {9}}\}$ (2-elementige Gruppe d.h 2*9=18; Alle Vielfachen von 9)
$U_{4}=\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {12}}\}$
$U_{5}=\{{\overline {0}},{\overline {3}},{\overline {6}},{\overline {9}},{\overline {12}},{\overline {15}}\}$
$U_{6}=\{{\overline {0}},{\overline {2}},{\overline {4}},{\overline {6}},{\overline {8}},{\overline {10}},{\overline {12}},{\overline {14}},{\overline {16}}\}$