TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 424

Gibt es eine Menge $K$ mit $R⊊K⊊C$, die mit der üblichen Addition bzw. Multiplikation einen Körper bildet? (Begründung!)

Lösungsvorschlag von neo

Anmerkung: Beweis durch Widerspruch!

Erweitert man die reellen Zahlen $ℝ$ mit höchstens einer komplexen Zahl $a+bi\in ℂ$, so gilt weiterhin $ℝ⊊K=\{ℝ\cup \{a+bi\}\}⊊ℂ$.
Aufgrund der Eigenschaften eines Körpers muss es Zahlen geben mit $(a+bi)+(a_1+b_{1}i)=0$ bzw. $(a+bi)(a_2+b_{2}i)=1$.
Des Weiteren gilt bei einem Körper mit der regulären Addition bzw. Multiplikation:
Das neutrale Element bezüglich der Addition ist $e_{+}=0$.
Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist $e_{\ast }=1$.
Addition und Multiplikation auf einem Körper sind abgeschlossen (d.h Summe bzw. Produkt sind ebenso in der Menge enthalten).

Aus diesen Annahmen folgt:
$(a+bi)+(a_1+b_{1}i)=0\to a_1=-a,b_1=-b\to -a,-b\in K$
$b\ast b^{-1}=1\to b^{-1}=\frac{1}{b}\to b^{-1}\in K$
$(a+bi)+(-a+0i)=bi\to bi\in K$
$K=\{ℝ\cup \{a+bi\}\cup b^{-1}\cup \{bi\}\}$
$bi\ast (b{)}^{-1}=bi\ast \frac{1}{b}=\frac{bi}{b}=i\to i\in K$
$K=\{ℝ\cup \{a+bi\}\cup b^{-1}\cup \{bi\}\cup i\}$
Wenn $i\in K$, so sind auch alle Zahlen aus $ℝ$, welche mit $i$ multipliziert bzw. addiert werden in $K$, woraus folgt: $K=ℂ$.