Man bestimme
und
und überprüfe, ob diese beiden Gruppen isomorph sind.
Homomorphismus:
Eine Abbildung
zwischen zwei Gruppen
und
heißt Homomorphismus (oder Gruppenhomomorphismus), wenn für alle
gilt: ![{\displaystyle \varphi (a\circ b)=\varphi (a)*\varphi (b)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ce61fe0b5a948b265b3d433a4177421a&mode=mathml)
Isomorphie:
Existiert zwischen zwei Gruppen
ein Isomorphismus (bijektiver Homomorphismus), so heißen
und
isomorph, und man schreibt dafür
.
Einheitengruppe des Restklassenrings ![{\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bee86c14eba2172b579c6326d964c3b4&mode=mathml)
Einheitengruppe des Restklassenrings ![{\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0bddb2181901c5b50efce95fbe7aa4fb&mode=mathml)
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(neutrales Element bezüglich
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(Die einzigen Restklassen modulo 6, welche ein Inverses besitzen)
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(neutrales Element bezüglich
)
(Die einzigen Restklassen modulo 3, welche ein Inverses besitzen)
Es gilt also:
![{\displaystyle \varphi :E(\mathbb {Z} _{6})\to E(\mathbb {Z} _{3}):\varphi (a\circ b)=\varphi (a)\circ \varphi (b)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=15fc667d27f611ca23ba304ad9fc9ee2&mode=mathml)
Sei ![{\displaystyle a={\overline {1}},b={\overline {5}}\to \varphi ({\overline {1}})={\overline {1}},\varphi ({\overline {5}})={\overline {2}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3b40f3a7731a493657de2994aa6a2279&mode=mathml)
![{\displaystyle \varphi ({\overline {1}}*{\overline {5}})=\varphi ({\overline {1}})*\varphi ({\overline {5}})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2d2e8bb4c95f4604c6ffd45cae239eca&mode=mathml)
![{\displaystyle \varphi ({\overline {5}})=\varphi ({\overline {1}})*\varphi ({\overline {5}})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b706a7d78c7c4907f54d56e7cf63b75d&mode=mathml)
![{\displaystyle {\overline {2}}={\overline {1}}*{\overline {2}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bc168f74f740e6fe0f3ba5968cba4584&mode=mathml)
![{\displaystyle {\overline {2}}={\overline {2}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3fb026f332f825a57739cae81e695d47&mode=mathml)
Aus
folgt:![{\displaystyle \varphi ^{-1}({\overline {1}})={\overline {1}},\varphi ^{-1}({\overline {2}})={\overline {5}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0ff52acebd2a43560239b34351ee8fcd&mode=mathml)
![{\displaystyle \varphi ^{-1}(\varphi ({\overline {5}}))=\varphi ^{-1}(\varphi ({\overline {5}}))*\varphi ^{-1}(\varphi ({\overline {1}}))}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=08d562c1c814e67483046b5ad8498691&mode=mathml)
![{\displaystyle \varphi ^{-1}({\overline {2}})=\varphi ^{-1}({\overline {2}})*\varphi ^{-1}({\overline {1}})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=23ec90cd4da00c223f2560b44d787045&mode=mathml)
![{\displaystyle {\overline {5}}={\overline {5}}*{\overline {1}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2d9e04c9714a6c662802f8020574701f&mode=mathml)
![{\displaystyle {\overline {5}}={\overline {5}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6ccfa13aac37353105576d3973957944&mode=mathml)
Es existiert ein Isomorphismus
zwsichen
und
:
![{\displaystyle \varphi ({\overline {1}})={\overline {1}},\varphi ({\overline {5}})={\overline {2}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8210f21e769a7235a96d105d19b8e7d3&mode=mathml)
und
sind isomorph