TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 438

Sei $(R,+,*)$ ein beliebiger Ring und $A\subseteq R$. Weiters sei $I(A)$ die Menge aller Ideale von $R$, die $A$ umfassen. Zeigen Sie: $\cap _{I\in I(A)}{I}$ ist das kleinste Ideal von $R$, das $A$ umfasst.

Hilfreiches

Ein Ideal $I$ ist eine Teilmenge eines Ringes $R$ für die gilt:
$0\in I$
$\forall a,b\in I:a+b\in I$
$\forall a\in I:\forall r\in R:ar\in I,ra\in I$

Lösungsvorschlag von neo

Zuerst beweist man, dass der Durchschnitt von zwei Idealen ebenfalls ein Ideal ist. Seien $I_{1},I_{2}$ zwei Ideale ($a_{0}{\widehat {=}}$Nullelement):
$a_{0}\in I_{1},a_{0}\in I_{2}\Rightarrow a_{0}\in I_{1}\cap I_{2}$
$\forall a,b\in I_{1}\cap I_{2}:a+b\in I_{1}\cap I_{2}$
Wahr, denn $I_{1}\cap I_{2}\subseteq I_{1}$ bzw. $I_{2}$ und wenn eine Eigenschaft für alle Elemente einer Menge gilt, dann gilt sie auch für einen Teil davon.
$\forall a\in I_{1}\cap I_{2}:\forall r\in R:ar\in I_{1}\cap I_{2},ra\in I_{1}\cap I_{2}$
Wahr mit der selben Argumentation wie oben.
Also ist der Durchschnitt von zwei Idealen wieder ein Ideal.

Da alle Elemente aus $I(A)$ die Menge $A$ enthalten, gilt:
$\forall I\in I(A):A\in I\Rightarrow \cap _{I\in I(A)}{I}$
Wenn alle Elemente $A$ enthalten, dann enthält auch der Durchschnitt aller Elemente $A$.

$\forall I_{1},I_{2}\in I(A):I_{1}\cap I_{2}\subseteq I_{1},I_{1}\cap I_{2}\subseteq I_{2}$
$\Rightarrow$ Der Durschnitt von zwei Mengen ist immer kleiner-gleich der kleineren Menge der beiden Mengen. Also folgt daraus:
$\Rightarrow \cap _{I\in I(A)}{I}$ enthält $A$ und ist gleichzeitig das kleinste Ideal, welches $A$ enthält.$\Box$