TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 446

Ein Polynom heißt irreduzibel, wenn es nicht als Produkt zweier Polynome kleineren Grades darstellbar ist. Man untersuche das Polynom $x^{2} + x + 1$ auf Irreduzibilität a) über $ℚ$ , b) über $ℤ_{3}$ .

Hilfreiches

Irreduzibilitätskriterien über Körper:
Jedes Polynom vom Grad 1 ist irreduzibel. Besitzt ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle, so hat es Grad 1.
Insbesondere hat jedes irreduzible Polynom über einem algebraisch abgeschlossenen Körper wie $ℂ$ Grad 1.
Jedes Polynom über $K$ vom Grad 2 oder vom Grad 3 ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle in $K$ hat.
https://de.wikipedia.org/wiki/Irreduzibles_Polynom

Lösungsvorschlag von neo

$ℚ$ stellt einen Körper dar.

a) große Lösungsformel anwenden:
$x^{2} + x + 1 = 0$
$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 * 1 * 1}}{2 * 1} = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2}$
$x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2} \notin ℚ$
$x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{3} i}{2} \notin ℚ$
Es ist keine Nullstelle in $ℚ$ vorhanden und daher ist das Polynom $x^{2} + x + 1$ über $ℚ$ irreduzibel.

b) $ℤ_{3} = {\overline{2}, \overline{1}, \overline{0}}$

$+$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$

$\overline{0}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$

$\overline{1}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$ $\overline{0}$

$\overline{2}$ $\overline{2}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$

$*$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$

$\overline{0}$ $\overline{0}$ $\overline{0}$ $\overline{0}$

$\overline{1}$ $\overline{0}$ $\overline{1}$ $\overline{2}$

$\overline{2}$ $\overline{0}$ $\overline{2}$ $\overline{1}$
Nun setzt man für $x$ jede Restklasse ein und rechnet das Ergebnis aus.
$x = \overline{0} : {\overline{0}}^{2} + \overline{0} + \overline{1} = \overline{1} \to (\overline{0} + \overline{0} + \overline{1}) * (\overline{1}) = \overline{1}$
$x = \overline{1} : {\overline{1}}^{2} + \overline{1} + \overline{1} = \overline{0} \to (\overline{1} + \overline{1} + \overline{1}) * (\overline{1}) = \overline{0}$
$x = \overline{2} : {\overline{2}}^{2} + \overline{2} + \overline{1} = \overline{1} \to (\overline{1} + \overline{2} + \overline{1}) * (\overline{1}) = \overline{1}$
Wie man sieht lässt sich über $ℤ_{3}$ das Polynom $x^{2} + x + 1$ in Polynome niedrigeren Grades zerlegen und ist daher reduzibel über $ℤ_{3}$ .

Anmerkung Käßknöpfle: Als Probe für die Behauptung könnte man diese noch angeben. Diese wäre: $(x - \overline{1})^{2} = (x + \overline{2}) = x^{2} + \overline{2} x + \overline{2} x + \overline{4} = x^{2} + x + \overline{1}$

$+$	$\overline{0}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$
$\overline{0}$	$\overline{0}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$
$\overline{1}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$	$\overline{0}$
$\overline{2}$	$\overline{2}$	$\overline{0}$	$\overline{1}$

TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 446

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Lösungsvorschlag von neo

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