TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 74

Gegeben sei eine natürliche Zahl n in Dezimaldarstellung. Subtrahieren Sie von der aus allen Stellen mit Ausnahme der letzten Stelle gebildete Zahl das Zweifache der letzten Stelle. Die so erhaltene Zahl bezeichnen wir mit m. Beispiel: Die letzte Stelle von n = 483 ist 3, die anderen Stellen bilden 48. Daher ist m = 48 − 2 ∗ 3 = 42.
Beweisen Sie: n ist genau dann durch 7 teilbar, wenn m ebenfalls durch 7 teilbar ist. Im obigen Beispiel ist daher 483 durch 7 teilbar, da 42=6*7 durch 7 teilbar ist.

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 13:13, 14. Sep. 2012 (CEST)

$7\ast a+2\ast b=c$
$m=7\ast a=c-2\ast b\dots a\in \mathbb{N},b\in \{0,1,2,\dots ,9\}$
$n=c\ast 10+b\Rightarrow$ n ist durch 7 teilbar.

Lösung von Robert L.

(Überarbeitete Version des Lösungsvorschlages von Christian Abila)

Laut Angabe können n und m folgendermaßen definiert werden:

$n=a_k\ast 10^k+a_{k-1}\ast 10^{k-1}+\dots +a_0$

$m=(a_k\ast 10^k+a_{k-1}\ast 10^{k-1}+\dots +a_1\ast 10)\ast 10^{-1}-2\ast a_0$

$a_k\in \{0,1,2,\dots ,9\}$

Da m durch 7 teilbar ist gilt zudem:

$m=7\ast x$

$x\in \mathbb{N}$

Durch Gleichsetzung der beiden m-Ausdrücke folgt somit:

$7\ast x=(a_k\ast 10^k+a_{k-1}\ast 10^{k-1}+\dots +a_1\ast 10)\ast 10^{-1}-2\ast a_0$

$(7\ast x+2\ast a_0)\ast 10=a_k\ast 10^k+a_{k-1}\ast 10^{k-1}+\dots +a_1\ast 10$

Dieser Ausdruck kann dann in n eingesetzt werden:

$n=(7\ast x+2\ast a_0)\ast 10+a_0$

$n=70\ast x+21\ast a_0$

$n=7\ast (10\ast x+3\ast a_0)\Rightarrow$ n ist durch 7 teilbar.

Siehe auch

• Datei:TU Wien-Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse) - Kongruenzen.pdf: Auf Seite 8 ist das Beispiel durchgerechnet.