Man ermittle alle Lösungen der nichtlinearen Differentialgleichung
durch Trennung der Variablen und anschließende Partialbruchzerlegung.
1y2−4=1(y+2)(y−2)1y2−4=Ay+2+By−21=A(y−2)+B(y+2)1=(A+B)y+2B−2A{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{y^{2}-4}}&={\frac {1}{(y+2)(y-2)}}\\{\frac {1}{y^{2}-4}}&={\frac {A}{y+2}}+{\frac {B}{y-2}}\\1&=A(y-2)+B(y+2)\\1&=(A+B)y+2B-2A\end{aligned}}}
Koeffizientenverglich ergibt A+B=0{\displaystyle A+B=0} und 2B−2A=1{\displaystyle 2B-2A=1}.
Aus A=−B{\displaystyle A=-B} folgt 2B+2B=4B=1{\displaystyle 2B+2B=4B=1} und somit B=14{\displaystyle B={\frac {1}{4}}}, A=−14{\displaystyle A=-{\frac {1}{4}}}.
1y2−4=14⋅1y−2−14⋅1y+2{\displaystyle {\frac {1}{y^{2}-4}}={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{y-2}}-{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{y+2}}}
y′=y2−4xy′y2−4=1x∫1y2−4dy=∫1xdx14∫1y−2dy−14∫1y+2dy=∫1xdx14ln(y−2)−14ln(y+2)=lnx+Cln(y−2)−ln(y+2)=4lnx+Celn(y−2)eln(y+2)=e4lnx⋅eCy−2y+2=(elnx)4⋅Cy−2y+2=Cx4y−2=yCx4+2Cx4y−yCx4=2Cx4+2
und 
.
folgt 
und somit 
, 
.
