TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Integralrechnung in einer Variablen 6

Angabe

Man berechne:

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot e^{-x}dx$

Theoretische Grundlagen: Partielle Integration

Wenn $u(x)$ und $v(x)$ in $[a;b]$ stetig differenzierbar sind, so gilt dort: $\int u(x)\cdot v^{\prime }(x)dx=u(x)\cdot v(x)-\int u^{\prime }(x)\cdot v(x)dx$

Lösungsvorschlag von mnemetz, von hanzzz korrigiert

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot e^{-x}dx=u=x,u^{\prime }=1;v^{\prime }=e^{-x},v=-e^{-x}$

$=-x\cdot e^{-x}-\int -e^{-x}dx=-x\cdot e^{-x}-e^{-x}$

Einsetzen der Grenzen von $\mathrm{\infty }$ bis 0: 0 - 0 + 1 = 1

Wie kommt man auf die letzte Zeile? Einfach die Grenzwerte berechnen!

Anhang: Mit MATLAB lösen

(benötigt symbolic math toolbox)

  >> syms x;
  >> f=x*exp(-x);
  >> int(f,x,0,inf)
  ans =
     1

Quelle

Panholzer Beispielsammlung WS05 / SS06 Beispiel 454