TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 144

Lösen Sie die folgende Aufgabe mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.

Welcher Quader mit gegebener Oberfläche $A$ besitzt maximales Volumen?

Lösungsvorschlag von Tonico

Das Volumen eines Quaders $V=abc$ soll mit gegebener Oberfläche $A=2ab+2ac+2bc$ maximal sein. Gesucht ist also das Maximum der Funktion $f(a,b,c)=abc$ unter der Nebenbedingung $g(a,b,c)=ab+ac+bc-\frac{A}{2}=0$. Unter Anwendung der Methode der Lagrange'schen Multiplikatoren ergibt sich die zu maximierende Funktion

$F(a,b,c,\lambda )=abc-\lambda (ab+ac+bc-\frac{A}{2})$.

Wir finden die Lösung(en) für $a,b,c$ durch Lösung des Gleichungssystem

$F_a=bc-\lambda (b+c)=0\iff \lambda =\frac{bc}{b+c}$

$F_b=ac-\lambda (a+c)=0\iff \lambda =\frac{ac}{a+c}$

$F_c=ab-\lambda (a+b)=0\iff \lambda =\frac{ab}{a+b}$

$F_{\lambda }=ab+ac+bc-\frac{A}{2}=0$

$\lambda =\frac{bc}{b+c}=\frac{ac}{a+c}\iff a=b$

$\lambda =\frac{ac}{a+c}=\frac{ab}{a+b}\iff b=c$

$a=b\wedge b=c\Rightarrow a=c$

$\Rightarrow 3a^2-\frac{A}{2}=0\Rightarrow a=b=c=\sqrt{\frac{A}{6}}$

(Da $a,b,c>0$ sind fällt die Lösung $-\sqrt{\frac{A}{6}}$ weg.)

Das Volumen ist maximal wenn alle Seiten gleich lang sind, wir machen eine Probe: $A=600\Rightarrow a=b=c=10$.

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Diskussion im Informatik-Forum:

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Alte Lösungen:

• Lösungen aus dem SS06 / SS07 Beispiel 110

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