TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 144

Lösen Sie die folgende Aufgabe mit Hilfe der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.

Welcher Quader mit gegebener Oberfläche $A$ besitzt maximales Volumen?

Lösungsvorschlag von Tonico

Das Volumen eines Quaders $V=abc$ soll mit gegebener Oberfläche $A=2ab+2ac+2bc$ maximal sein. Gesucht ist also das Maximum der Funktion $f(a,b,c)=abc$ unter der Nebenbedingung $g(a,b,c)=ab+ac+bc-{\frac {A}{2}}=0$. Unter Anwendung der Methode der Lagrange'schen Multiplikatoren ergibt sich die zu maximierende Funktion

$F(a,b,c,\lambda )=abc-\lambda (ab+ac+bc-{\frac {A}{2}})$.

Wir finden die Lösung(en) für $a,b,c$ durch Lösung des Gleichungssystem

$F_{a}=bc-\lambda (b+c)=0\Leftrightarrow \lambda ={\frac {bc}{b+c}}$

$F_{b}=ac-\lambda (a+c)=0\Leftrightarrow \lambda ={\frac {ac}{a+c}}$

$F_{c}=ab-\lambda (a+b)=0\Leftrightarrow \lambda ={\frac {ab}{a+b}}$

$F_{\lambda }=ab+ac+bc-{\frac {A}{2}}=0$

$\lambda ={\frac {bc}{b+c}}={\frac {ac}{a+c}}\Leftrightarrow a=b$

$\lambda ={\frac {ac}{a+c}}={\frac {ab}{a+b}}\Leftrightarrow b=c$

$a=b\wedge b=c\Rightarrow a=c$

$\Rightarrow 3a^{2}-{\frac {A}{2}}=0\Rightarrow a=b=c={\sqrt {\frac {A}{6}}}$

(Da $a,b,c>0$ sind fällt die Lösung $-{\sqrt {\frac {A}{6}}}$ weg.)

Das Volumen ist maximal wenn alle Seiten gleich lang sind, wir machen eine Probe: $A=600\Rightarrow a=b=c=10$.

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