TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 58

SS 08 Beispiel 61

Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die folgenden Reihen konvergieren:

$\sum _{n\ge 1}{e}^{-\sqrt{n}}$

Lösungsvorschlag

Mal als Idee:

Die Funktion lautet also $f(x)=e^{-\sqrt{n}}$ und müßte monoton fallend sein, damit sie konvergiert.

Die erste Ableitung wäre dann $f^{\prime }(x)=-e^{-\sqrt{n}}$,

da die innere Ableitung so aussieht: $-n^{\frac{1}{2}}=-1^{\frac{1}{2}}=-1$

Somit ändert sich bei jeder Ableitung nur das Vorzeichen und die Funktion zeigt keine Spur von Konvergenz oder Monotonie.

War doch keine so gute Idee!

Hapi

Das ist halt nicht das Integralkriterium wie in der Angabe verlangt.

Das Integralkrit wäre (im Buch Satz 5.62 auf S.220): ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dxkonvergiert\leftrightarrow \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)konvergiert$ Korrektur: die Angabe gibt integriert $\int e^{-\sqrt{x}}dxu=-\sqrt{x}\Rightarrow -2\int u{e}^{u}du=-2(u{e}^u-\int e^u)=-2e^{-\sqrt{x}}(1+\sqrt{x})+C=2e^{-\sqrt{x}}(-1-\sqrt{x})+C$.

also $2e^{-\sqrt{x}}(-1-\sqrt{x}){\mid }_1^{\mathrm{\infty }}=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}(2e^{-\sqrt{x}}(-1-\sqrt{x}){\mid }_1^b)=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}(2e^{-\sqrt{b}}(-1-\sqrt{b})-2e^{-\sqrt{1}}(-1-\sqrt{1}))=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}(2e^{-\sqrt{b}}(-1-\sqrt{b})+\frac{4}{e})$$=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}(-\frac{2}{e^{\sqrt{b}}}-\frac{2\sqrt{b}}{e^{\sqrt{b}}}+\frac{4}{e})$. Im mittleren Bruch die Wurzel nach unten bringen $=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}(-\frac{2}{e^{\sqrt{b}}}-\frac{2}{\frac{e^{\sqrt{b}}}{\sqrt{b}}}+\frac{4}{e})$. So, jetzt ist die Frage ob der mittlere Term gegen 0 geht, dann konvergiert das ganze Ding nämlich. Es ist die Frage ob bewiesen werden muss dass $e^x$ stärker wächst als $x.$ Sagen wir das ist trivial und man sieht sofort dass der mittlere Term gegen 0 geht. Also konvergiert die gesamte Funktion und somit auch die Summe.

fabb & Schakal

Lösung SS08

lt. Prof Urbanek

$\sum _{n\ge 1}f(n)⟺{\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$ daher folgt

$\sum _{n\ge 1}{e}^{-\sqrt{n}}⟺{\int }_1^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\sqrt{x}}dx$

x = u² und dx ist 2du

$\int e^{-u}2u.du=2\int u.e^{-u}du$ (f.g')

$f^{\prime }=1,g=-e^{-u}$

Partielle Integration: $2(-u{e}^{-u}-\int -e^{-u}du)$ ausgewertet zwischen 1 und $\mathrm{\infty }$

$=-2\frac{1}{e^u}(u+1)=-2\frac{u+1}{e^u}$ ausgewertet bei 1 = -4/e, bei $\mathrm{\infty }$ sind die Terme 0

Puh, hoffe habs richtig mitgeschrieben, das Ergebnis hat der Prof. herausgebracht.

Hapi