TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 185

Zeigen Sie, daß das Kurvenintegral $\int _{C}(\cos x\;dx+e^{-y}\;dy+z^{2}\;dz)$ wegunabhängig ist, und berechnen Sie es über einen Weg von (−1, 3, 4) nach (6, 9, −2).

Lösungsvorschlag von EgoBrain

Integrabilitätsbedingungen prüfen:

${\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}={\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}=0$

${\frac {\partial f_{2}}{\partial z}}={\frac {\partial f_{3}}{\partial y}}=0$

${\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}={\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}=0$

Stammfunktion $F\;(x,y,z)$ bestimmen:

$f\;(x,y,z)={\begin{pmatrix}\cos x\\\mathrm {e} ^{-y}\\z^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}$

$F\;(x,y,z)=\int \cos x\;\mathrm {d} x=\sin x+c\;(y,z)$

$F_{y}=\mathrm {e} ^{-y}=c\;^{\prime }(y,z)$

$c\;(y,z)=\int \mathrm {e} ^{-y}\;\mathrm {d} y=-\mathrm {e} ^{-y}+c_{1}\;(z)$

$F\;(x,y,z)=\sin x-\mathrm {e} ^{-y}+c_{1}\;(z)$

$F_{z}=z^{2}=c_{1}\;^{\prime }(z)$

$c_{1}\;(z)=\int z^{2}\;\mathrm {d} z={\frac {z^{3}}{3}}+c_{2}$

$F\;(x,y,z)=\sin x-\mathrm {e} ^{-y}+{\frac {z^{3}}{3}}+c_{2}$

Über den Weg von ${\begin{pmatrix}-1\\3\\4\end{pmatrix}}$ nach ${\begin{pmatrix}6\\9\\-2\end{pmatrix}}$ berechnen:

$F(b)-F(a)$

$\sin(6)-\mathrm {e} ^{-9}+{\frac {(-2)^{3}}{3}}-(\sin(-1)-\mathrm {e} ^{-3}+{\frac {4^{3}}{3}})=-23,8283$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum SS07 Beispiel 134
• Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 185
• Diskussion im Informatik-Forum SS09 Beispiel 191

Ähnliche Beispiele:

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• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 187

Wikipedia:

• Kurvenintegral