TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 187

Zeigen Sie, daß das Kurvenintegral $\int _{C}y\;dx+(y-x)\;dy$ nicht wegunabhängig ist, indem Sie zwei verschiedene Kurven von (0, 0) nach (1, 1) wählen, für welche die Werte der Kurvenintegrale verschieden sind.

Erstmal die Integrabilitätsbedingung:

$u={\begin{pmatrix}y\\y-x\end{pmatrix}}$

Betrachten wir y als Funktion g und y-x als Funktion h. Nun machen wir die y-Ableitung auf g und die x-Ableitung auf h.

$g'(y)=1$

$h'(x)=-1$

Sind also nicht gleich, daher Intergratibilitätsbedinung nicht erfüllt = nicht wegunabhängig.

Wurde so von Urbanek in der Übung gerechnet:

Als zwei Kurven zwischen den Punkten (0,0) und (1,1) kann man zb $y=x$ und $y=x^{2}$ nehmen. Man könnte es aber auch über einen Streckenzug wie in 186 ausrechnen.

Für $c_{1}:y=x:$

$c_{1}(t)={\begin{pmatrix}t\\t\end{pmatrix}}0\leqslant t\leqslant 1$

$\int _{0}^{1}(t*1+0*1)dt={\frac {t^{2}}{2}}\mid _{0}^{1}={\frac {1}{2}}$

Für $c_{2}:y=x^{2}$:

$c_{2}(t)={\begin{pmatrix}t\\t^{2}\end{pmatrix}}0\leqslant t\leqslant 1$

$\int _{0}^{1}(\underbrace {t^{2}*1+(t^{2}-t)*2t} _{2t^{3}-t^{2}})dt={\frac {t^{4}}{2}}-{\frac {t^{3}}{3}}\mid _{0}^{1}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 187

Ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 185
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 186

Wikipädia:

• Kurvenintegral