TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 242

Stellen Sie eine Rekursion für die gesuchten Zahlen $a_{n}$ auf und lösen Sie diese:

a_{n}

sei die größte Anzahl von Teilen, in die die (eine) Ebene durch n Geraden zerlegt werden kann.

Lösungsvorschlag von Tonico

Wie toxiscm im Forum schreibt: "Die n-te Gerade schneidet n-1 Geraden und schafft n neue gebiete !".

Durch Probieren kommt man auf die Rekursion $a_{n + 1} = a_{n} + n$ . Die Lösung dieser lautet dann $a_{n} = 1 + \frac{n (n + 1)}{2}$ .

Die Formel $\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$ ist auch bekannt als der kleine Gauß.

Wir sind in der Übung auf die Gleiche Lösung gekommen, aber mit einem kleinen Zwischenschritt:

Ansatz: $a_{n} + 1 = a_{n} + (n + 1)$

Das kann man sich am besten mit einer kleinen Skizze veranschaulichen. Daraus ergibt sich folgende Summenformel: $\sum_{i = 1}^{n - 1} i + 1$

wobei man dann oben genannte Summenformel vom kleinen Gauß anwenden kann und dann ebenfalls auf die Lösung von

$a_{n} = 1 + \frac{n (n + 1)}{2}$ kommt

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