TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 242

Stellen Sie eine Rekursion für die gesuchten Zahlen $a_{n}$ auf und lösen Sie diese:

$a_{n}$ sei die größte Anzahl von Teilen, in die die (eine) Ebene durch n Geraden zerlegt werden kann.

Lösungsvorschlag von Tonico

Wie toxiscm im Forum schreibt: "Die n-te Gerade schneidet n-1 Geraden und schafft n neue gebiete !".

Durch Probieren kommt man auf die Rekursion $a_{n+1}=a_{n}+n$. Die Lösung dieser lautet dann $a_{n}=1+{\frac {n(n+1)}{2}}$.

Die Formel $\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$ ist auch bekannt als der kleine Gauß.

Lösung aus einer Übung

Wir sind in der Übung auf die Gleiche Lösung gekommen, aber mit einem kleinen Zwischenschritt:

Ansatz: $a_{n}+1=a_{n}+(n+1)$

Das kann man sich am besten mit einer kleinen Skizze veranschaulichen. Daraus ergibt sich folgende Summenformel: $\sum _{i=1}^{n-1}i+1$

wobei man dann oben genannte Summenformel vom kleinen Gauß anwenden kann und dann ebenfalls auf die Lösung von

$a_{n}=1+{\frac {n(n+1)}{2}}$ kommt

Links

• Diskussion im Informatik-Forum / SS10 Beispiel 295
• Diskussion im Informatik-Forum / SS07 Beispiel 161

Ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 240
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 241
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 243