TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 207

Berechnen Sie folgendes Bereichsintegal:

$\iint _{B}xe^{y}$, wobei B der Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 2 sei.

Lösungsvorschlag von crispy

[EDIT:
einige grobe Unsauberheiten (welche in diesem Fall das ergbnis leider nicht veränderten) korrigiert... Crispy 10:27, 18. Mai 2010 (CEST)
Wurde soeben belehrt, dass man nur monotone Funktionen substituieren kann; mann müsste das Integral bei ${\frac {\pi }{2}}{\text{und}}{\frac {3\pi }{2}}$ aufspalten und dann nachher zusammenzählen... 128.131.195.103 13:54, 18. Mai 2010 (CEST)]

Wie so oft mit Kreisen, wollen wir lieber über Polarkoordinaten integrieren, da kann man den Bereich nämlich viel einfacher beschreiben. Um das Integral ausrechnen zu können, benötigen wir aber die Umrechnung von Polar nach euklidischen Koordinaten:

$x(r,\varphi )=r*cos(\varphi );y(r,\varphi )=r*sin(\varphi )$

Und zum Koordinatenwechsel benötigen wir die Funktionaldeterminante der Umrechnung:

${\begin{aligned}\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}&=\det {\begin{pmatrix}x_{r}&x_{\varphi }\\y_{r}&y_{\varphi }\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}cos(\varphi )&-r*sin(\varphi )\\sin(\varphi )&r*cos(\varphi )\end{pmatrix}}\\&=cos(\varphi )*r*cos(\varphi )-(-r*sin(\varphi )*sin(\varphi ))\\&=r(cos^{2}(\varphi )+sin^{2}(\varphi ))=r\end{aligned}}$

Soweit zu Vorbereitung. Auf gehts:

Dieses Ergebnis hätte man schneller haben können, wenn man sich vorher überlegt hätte, was passiert, wenn man die Kreisscheibe entlang x=0 aufteilt. Teilt man den Bereich enlang der Y-Achse in zwei Hälften, erhält die rechte Seite ein bestimmtes Volumen, die linke (dank dem einsamen Faktor x) das betraglich gleiche Volumen, jedoch mit anderem Vorzeichen. Addiert man die beiden zusammen, ist das Ergebnis logischerweise 0.

Wenn jemand den Mut hat, das so an der Tafel zu erklären, möge er/sie hier bitte festhalten, obs durchgegangen is...