TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 208

$\int _{B}\int xln(y)$, wobei B der Kreisring {(x, y) | 1 ≤ $x^{2}+y^{2}$≤ 3} sei.

Lösungsvorschlag

crispy's Versuch

[EDIT: Grenzen des Bereichs in polar sind natürlich $1\leq r\leq {\sqrt {3}}$
Crispy 15:25, 17. Mai 2010 (CEST)]

Wie aus der Vorlesung bekannt, eignet sich die Substitutionsregel für Bereichsintervalle (Satz 6.44) gut, wenn man z.b. Bereiche auf Kreisbasis hat, weil dort fast alles mit Polarkoordinaten besser geht.

Wir wollen also über Polarkoordinaten integrieren. Um das eigentliche Integral (x*ln(y)) berechnen zu können, müssen wir dort wieder auf euklidische Koordinaten umrechnen:

$x(r,\varphi )=r*cos(\varphi )$

$y(r,\varphi )=r*sin(\varphi )$

Des Weiteren bereiten wir uns für den Koordinatenwechsel die Funktionaldeterminante vor:

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}={\begin{pmatrix}x_{r}&x_{\varphi }\\y_{r}&y_{\varphi }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}cos(\varphi )&-r*sin(\varphi )\\sin(\varphi )&r*cos(\varphi )\end{pmatrix}}$

Unser Integral in Polar lautet also:

$\int _{1}^{\sqrt {3}}\int _{0}^{2\pi }r*cos(\varphi )*ln(r*sin(\varphi ))*\det {\begin{pmatrix}cos(\varphi )&-r*sin(\varphi )\\sin(\varphi )&r*cos(\varphi )\end{pmatrix}}\,d\varphi \,dr$

Soweit so gut. Auf gehts (mit freundlicher Unterstützung durch Wolfram Alpha >:->).

Wir beginnen mal bei der Funktionsdeterminante:

$\det {\begin{pmatrix}cos(\varphi )&-r*sin(\varphi )\\sin(\varphi )&r*cos(\varphi )\end{pmatrix}}=cos(\varphi )*r*cos(\varphi )-(-r*sin(\varphi )*sin(\varphi ))=r*cos^{2}(\varphi )+r*sin^{2}(\varphi )=$

$r(cos^{2}(\varphi )+sin^{2}(\varphi ))=r$

Als nächstes sehen wir uns das innere Integral an:

$\int r*cos(\varphi )*ln(r*sin(\varphi ))*\det {\begin{pmatrix}cos(\varphi )&-r*sin(\varphi )\\sin(\varphi )&r*cos(\varphi )\end{pmatrix}}\,d\varphi =$	(determinante einsetzen)
$\int r*cos(\varphi )*ln(r*sin(\varphi ))*r\,d\varphi =$	(ln(produkt) = ln(factor1)+ln(factor2); konstanten rausheben)
$r^{2}*\int cos(\varphi )*(ln(r)+ln(sin(\varphi )))\,d\varphi =$	(klammer erweitern)
$r^{2}*\int cos(\varphi )*ln(r)+cos(\varphi )*ln(sin(\varphi ))\,d\varphi =$	(an Summe aufspalten, ln(r) ist konstant, herausziehen)
$r^{2}*ln(r)*\int cos(\varphi )\,d\varphi +r^{2}*\int cos(\varphi )*ln(sin(\varphi ))\,d\varphi =$	${\begin{pmatrix}{\begin{aligned}u&=sin(\varphi )\\u'&=cos(\varphi )\end{aligned}}\end{pmatrix}}$
$r^{2}*ln(r)*\int cos(\varphi )\,d\varphi +r^{2}*\int ln(u)\,du=$	$\int ln(u)\,du=u*ln(u)-u+c$
$r^{2}*ln(r)*sin(\varphi )+r^{2}*(u*ln(u)-u+c=$	$u=sin(\varphi )$
$r^{2}*ln(r)*sin(\varphi )+r^{2}*(sin(\varphi )*ln(sin(\varphi ))-sin(\varphi ))+c=$	(herausheben)
$r^{2}*sin(\varphi )(ln(r)+ln(sin(\varphi ))-1)+c$

Das Ganze wird nun an den Stellen 0 und $2\pi$ ausgewertet - wobei $sin(0)=0{\text{ sowie }}sin(2\pi )=0\Rightarrow$ der Ausdruck (= eine Kreisscheibe) ist 0!

Und wenns für eine gilt, gilts für alle...

$\int _{1}^{\sqrt {3}}r^{2}*sin(\varphi )(ln(r)+ln(sin(\varphi ))-1)|_{0}^{2\pi }\,dr={\underline {\underline {0}}}$

Hätte man mit kurzer Analyse auch vorher erraten können:

Die Kreisscheibe ist an der Y-Ache gespiegelt, die linke Hälfte hat durch den Faktor x ein negatives Vorzeichen, die rechte Hälfte ist betraglich gleich, aber positiv ==> 0...

(Wenn jemand mutig ist und das an der Tafel so erklärt, möge er bitte hier festhalten, ob's durchgegangen is...)

Anmerkung Me.Name

Ich weiß nicht wann die Angabe geänder wurde auf alle Fälle ist die neue Angabe:

 $\int \int _{B}xln(y)dxdy$, wobei B der Bereich ${(x,y)|y\geq |x|~und~1\leq x^{2}+y^{2}\leq 3}$ sei.

Das obige Beispiel ist soweit richtig jedoch sind die Grenzen für $\varphi$ jetzt nicht mehr 0 bis $2\pi$ sondern ${\frac {\pi }{4}}~bis~{\frac {3\pi }{4}}$.

Dies folgt aus der neu Hinzugabe der Gleichung $y\geq |x|$. Das ist na nichts anderes als in einem Koordinatensystem 2 45° Linen vom Ursprung einmal nach links und einmal nach rechts zu Zeichnen. Alle y-Werte was zwischen diesen beiden Linien liegen sind größer gleich |x|. Und 45 Grad sind ja bekanntlich ${\frac {\pi }{4}}$ und 135° ${\frac {3\pi }{4}}$.