TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 186

Zeigen Sie, daß das Kurvenintegral $\int _{C}(e^{-x}\;dx+\cos y\;dy+z^{5}\;dz)$ wegunabhängig ist und berechnen Sie es über einen Weg von (1, 2, 3) nach (−4, −5, −6).

Lösungsvorschlag von BillyBones[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Laut angabe muss man einen konkreten Weg vom Startpunkt zum Endpunkt angeben. Man kann, wie in der Vorlesung gezeigt, die direkte Verbindung nehmen. Einfacher ist es jedoch, auf achsenparallelen Teilstrecken zu gehen also:

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}-4\\2\\3\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}-4\\-5\\3\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}-4\\-5\\-6\\\end{pmatrix}}$

Nun wende man folgende Formel für Kuvenintegrale an: $\int _{a}^{b}(C(t))\cdot \|C'(t)\|\mathrm {d} t$

$C_{1}(t)={\begin{pmatrix}t\\2\\3\end{pmatrix}}\quad C_{2}(t)={\begin{pmatrix}-4\\t\\3\end{pmatrix}}\quad C_{3}(t)={\begin{pmatrix}-4\\-5\\t\end{pmatrix}}$

$1\leqslant t\leqslant -4\qquad 2\leqslant t\leqslant -5\qquad \quad 3\leqslant t\leqslant -6$

$c_{1}'={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad \quad c_{2}'={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\qquad \quad c_{3}'={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$