TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 187

Zeigen Sie, daß das Kurvenintegral ${\int }_{C}ydx+(y-x)dy$ nicht wegunabhängig ist, indem Sie zwei verschiedene Kurven von (0, 0) nach (1, 1) wählen, für welche die Werte der Kurvenintegrale verschieden sind.

Erstmal die Integrabilitätsbedingung:

$u=\left(\begin{array}{c}y\\ y-x\end{array}\right)$

Betrachten wir y als Funktion g und y-x als Funktion h. Nun machen wir die y-Ableitung auf g und die x-Ableitung auf h.

$g^{\prime }(y)=1$

$h^{\prime }(x)=-1$

Sind also nicht gleich, daher Intergratibilitätsbedinung nicht erfüllt = nicht wegunabhängig.

Wurde so von Urbanek in der Übung gerechnet:

Als zwei Kurven zwischen den Punkten (0,0) und (1,1) kann man zb $y=x$ und $y=x^2$ nehmen. Man könnte es aber auch über einen Streckenzug wie in 186 ausrechnen.

Für $c_1:y=x:$

$c_1(t)=\left(\begin{array}{c}t\\ t\end{array}\right)0⩽t⩽1$

${\int }_0^1(t\ast 1+0\ast 1)dt=\frac{t^2}{2}{\mid }_0^1=\frac{1}{2}$

Für $c_2:y=x^2$:

$c_2(t)=\left(\begin{array}{c}t\\ t^2\end{array}\right)0⩽t⩽1$

${\int }_0^1(\underset{2t^3-t^2}{\underbrace{t^2\ast 1+(t^2-t)\ast 2t}})dt=\frac{t^4}{2}-\frac{t^3}{3}{\mid }_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

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• Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 187

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Wikipädia:

• Kurvenintegral