TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS19/Beispiel 318

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Man ermittle alle Lösungen der nichtlinearen Differentialgleichung

y'= \frac{y^2-4}{x}

durch Trennung der Variablen und anschließende Partialbruchzerlegung.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Partialbruchzerlegung[Bearbeiten]

\begin{align}
\frac{1}{y^2-4} &= \frac{1}{(y+2)(y-2)} \\
\frac{1}{y^2-4} &= \frac{A}{y+2} + \frac{B}{y-2} \\
1 &= A(y-2) + B(y+2) \\
1 &= (A+B) y + 2B - 2A
\end{align}

Koeffizientenverglich ergibt A+B = 0 und 2B-2A = 1.

Aus A = -B folgt 2B + 2B = 4B = 1 und somit B = \frac{1}{4}, A = -\frac{1}{4}.

\frac{1}{y^2-4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y-2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y+2}

Trennung der Variablen[Bearbeiten]

\begin{align}
y' &= \frac{y^2-4}{x} \\
\frac{y'}{y^2-4} &= \frac{1}{x} \\
\int \frac{1}{y^2-4}\,\mathrm dy &= \int \frac{1}{x}\,\mathrm dx \\
\frac{1}{4} \int \frac{1}{y-2}\,\mathrm dy - \frac{1}{4} \int \frac{1}{y+2}\,\mathrm dy &= \int \frac{1}{x}\,\mathrm dx \\
\frac{1}{4} \ln(y-2) - \frac{1}{4} \ln(y+2) &= \ln x + C \\
\ln(y-2) - \ln(y+2) &= 4 \ln x + C \\
\frac{e^{\ln(y-2)}}{e^{\ln(y+2)}} &= e^{4 \ln x} \cdot e^C \\
\frac{y-2}{y+2} &= \left(e^{\ln x}\right)^4 \cdot C \\
\frac{y-2}{y+2} &= C x^4 \\
y-2 &= y C x^4 + 2 C x^4 \\
y - y C x^4 &= 2 C x^4 + 2 \\
y &= \frac{2 C x^4 + 2}{1-C x^4}
\end{align}