TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS19/Beispiel 318

Man ermittle alle Lösungen der nichtlinearen Differentialgleichung

$y^{\prime }=\frac{y^2-4}{x}$

durch Trennung der Variablen und anschließende Partialbruchzerlegung.

Lösungsvorschlag

Partialbruchzerlegung

$\begin{array}{cc}\frac{1}{y^2-4}& =\frac{1}{(y+2)(y-2)}\\ \frac{1}{y^2-4}& =\frac{A}{y+2}+\frac{B}{y-2}\\ 1& =A(y-2)+B(y+2)\\ 1& =(A+B)y+2B-2A\end{array}$

Koeffizientenverglich ergibt $A+B=0$ und $2B-2A=1$.

Aus $A=-B$ folgt $2B+2B=4B=1$ und somit $B=\frac{1}{4}$, $A=-\frac{1}{4}$.

$\frac{1}{y^2-4}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{y-2}-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{y+2}$

Trennung der Variablen

$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =\frac{y^2-4}{x}\\ \frac{y^{\prime }}{y^2-4}& =\frac{1}{x}\\ \int \frac{1}{y^2-4}\mathrm{d}y& =\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\\ \frac{1}{4}\int \frac{1}{y-2}\mathrm{d}y-\frac{1}{4}\int \frac{1}{y+2}\mathrm{d}y& =\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\\ \frac{1}{4}\ln (y-2)-\frac{1}{4}\ln (y+2)& =\ln x+C\\ \ln (y-2)-\ln (y+2)& =4\ln x+C\\ \frac{e^{\ln (y-2)}}{e^{\ln (y+2)}}& =e^{4\ln x}\cdot e^C\\ \frac{y-2}{y+2}& ={\left(e^{\ln x}\right)}^4\cdot C\\ \frac{y-2}{y+2}& =C{x}^4\\ y-2& =yC{x}^4+2C{x}^4\\ y-yC{x}^4& =2C{x}^4+2\\ y& =\frac{2C{x}^4+2}{1-C{x}^4}\end{array}$