TU Wien Diskussion:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 18

n = 1 9*1³ - 3 = 6 < 81 (8) ist richtig

6<8, oder nicht?

Induktionsschritt

Der Induktionsschritt ist irgendwie seltsam, Hapi. "und 6n² sind bei n >= 3immer kleiner als 7n³" Könnte jetzt verlangen, dass du das auch noch zeigst mit vollständiger Induktion.

Und was meinst du mit "Ersetzen n durch höchste Potenz"? Du gehst einfach davon aus, dass auch wenn du n nochmal mit n multiplizierst die Zahl immernoch kleiner ist... Gut ok, gilt dann auch folgendes, was ich mir überlegt habe?

Ich würde sagen, erstmal das -3 weglassen, da sich dadurch nichts ändert. Es gilt immernoch für n >= 3, obwohl 3 addiert wurde.

Dann die Ungleichung u(n+1) durch u(n) dividieren, dann kommt am Ende: n >= 1, hier ist es eindeutig, dass das für alle n >= 3 gilt.

 ${\frac {9(n+1)^{3}}{9n^{3}}}\leq {\frac {8^{n+1}}{8^{n}}}$ | Kürzen
 ${\frac {(n+1)^{3}}{n^{3}}}\leq 8$ | 3. Wurzel
 ${\frac {n+1}{n}}\leq 2$
 $1+{\frac {1}{n}}\leq 2$
 ${\frac {1}{n}}\leq 1$
 $n\geq 1$

6<8 richtig

davon geh ich aus. habs geändert :)

Induktionsschluss fehlerhaft

Die Formel $9*(n+1)^{3}-3=8*(9n^{3}-3)$ ist ganz offensichtlich einfach falsch. Wie man das Beispiel richtig löst weiß ich aber selber leider auch nicht :)