Hilfe:Analysis
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Contents
Folgen, Reihen und Funktionen[edit]
Folgen reeller Zahlen[edit]
Arten von Folgen:
- konstante Folge
- arithmetische Folge
- geometrische Folge
- rekursive Folge
- fast alle
- alle bis auf endlich viele
- ε-Umgebung
- Grenzwert
- Eine reelle Zahl
heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge
, falls in jeder
-Umgebung von
fast alle Folgenglieder
liegen, d.h., falls
- Häufungspunkt
- Wenn in jeder
- Umgebung von
unendlich viele Folgenglieder liegen, so ist
ein Häufungspunkt von
.
- Hauptsatz über monotone Folgen
- Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.
- Sandwich-Theorem
- Seien
und
konvergente Folgen mit
.
- Sei
eine Folge mit
für fast alle
.
- Dann folgt die Konvergenz von
und es gilt
.
- Cauchyfolge
.
- Eine Cauchy-Folge ist stets konvergent (in
).
Unendliche Reihen[edit]
![]() |
Reihe |
![]() |
Partialsummenfolge |
Test | Reihe | konvergent | divergent | Notiz |
---|---|---|---|---|
Nullfolgenkriterium | ![]() |
— | ![]() | |
Geometrische Reihe | ![]() |
![]() |
![]() |
Summe = ![]() |
Hyperharmonische Reihe | ![]() |
![]() |
![]() |
harmonisch, wenn p=1 |
Direct Comparison Test | ![]() |
![]() ![]() |
![]() ![]() |
Ungleichung muss für fast alle n stimmen; heißt auch Majoranten- & Minorantenkriterium |
Leibniz-Kriterium | ![]() |
![]() ![]() |
![]() | |
Wurzelkriterium | ![]() |
![]() |
![]() | |
Quotientenkriterium | ![]() |
![]() |
![]() |
- Cauchyprodukt
- Potenzreihe
Asymptotischer Vergleich von Folgen[edit]
Beispiele zum Asymptotischen Vergleich von Folgen
- Landau-Symbole
Seien und
Folgen. Dann schreibt man für
:
- (i)
, falls es eine Konstante C>0 gibt, so dass
für fast alle
gilt.
- (ii)
, falls
gilt.
- (iii)
, falls
gilt.
Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit[edit]
Differential- und Integralrechnung in einer Variablen[edit]
Die Ableitung[edit]
Beispiele zur Differentialrechnung in einer Variablen
- Differenzierbarkeit
- Eine Funktion heißt differenzierbar im Punkt
, wenn
sowohl von links, als auch von rechts, existiert.
- Produktregel
- Quotientenregel
- Kettenregel
- Umkehrregel
Die Taylor'sche Formel und der Mittelwertsatz[edit]
- Mittelwertsatz der Differentialrechnung
- Mittelwertsatz: Ist f auf [a, b] differenzierbar, dann gibt es ein
mit
- Taylorreihe
- Regel von l'Hospital
- Sind die Funktionen
und
in einer Umgebung von
- differenzierbar und
- gilt
und
- existiert
,
- so gilt:
.
- Eine analoge Aussage gilt für
, oder auch falls
.
Das unbestimmte Integral[edit]
- Partielle Integration
- alias
- Substitutionsregel
mit
Das bestimmte Integral[edit]
- Riemann'sche Zwischensumme
- TODO
- Mittelwertsatz der Integralrechnung
- Sei f stetig auf dem Intervall [a,b]. Dann gibt es ein
, so dass
.
- Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- Sei f eine auf dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist
eine Stammfunktion von f. Jede beliebige Stammfunktion F von f erfüllt:
- Anmerkung: Statt
schreibt man kürzer auch
.
Uneigentliche Integrale[edit]
- Integralkriterium
- Sei
eine nichtnegative und monoton fallende Funktion. Dann ist das uneigentliche Integral
genau dann konvergent, wenn die Reihe
konvergiert.