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Folgen, Reihen und Funktionen

Folgen reeller Zahlen

Beispiele zu Folgen

Arten von Folgen:

• konstante Folge
• arithmetische Folge $a_n = a_0 + dn$
• geometrische Folge $a_n = a_0q^n$
• rekursive Folge

fast alle

alle bis auf endlich viele

ε-Umgebung

$U_\epsilon(a) = (a - \epsilon, a + \epsilon) = \{x\in\R \mid |x-a| < \epsilon\}$

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_n)_{n\geq0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h., falls

$\forall\epsilon > 0 \quad \exists N(\epsilon)\in\mathbb{N} \quad \forall n>N(\epsilon):|a_n-a|<\epsilon$

Häufungspunkt

Wenn in jeder $\epsilon$ - Umgebung von $a \in \mathbb{R}$ unendlich viele Folgenglieder liegen, so ist $a$ ein Häufungspunkt von $(a_n)_{n \geq 0}$.

Hauptsatz über monotone Folgen

Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

Sandwich-Theorem

Seien $(a_{n})_{n\geq 0}$ und $(b_{n})_{n\geq 0}$ konvergente Folgen mit $\lim_{n\rightarrow +\infty}a_{n} = \lim_{n\rightarrow +\infty}b_{n} = a$.

Sei $(c_{n})_{n\geq 0}$ eine Folge mit $a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}$ für fast alle $n \in\mathbb{N}$.

Dann folgt die Konvergenz von $c_{n}$ und es gilt $\lim_{n\rightarrow +\infty}c_{n} = a$.

Cauchyfolge

$\langle x_n\rangle_{n\in\mathbb N}:\quad\forall\varepsilon>0\quad\exists N(\varepsilon)\quad\forall n, m\geq N(\varepsilon):\quad\left|x_n-x_m\right|<\varepsilon$.

Eine Cauchy-Folge ist stets konvergent (in $\mathbb R$).

Unendliche Reihen

Beispiele zu Reihen

$\sum^\infty_{n=0} a_n$	Reihe
$\left(\sum^n_{k=0} a_k\right)_{n\geq0}$	Partialsummenfolge

Test	Reihe	konvergent	divergent	Notiz
Nullfolgenkriterium	$\sum^\infty_{n=0} a_n$	—	$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$
Geometrische Reihe	$\sum_{n\geq0} q^n$	$|q| < 1$	$|q| \geq 1$	Summe = $\frac1{1-q}$
Hyperharmonische Reihe	$\sum_{n\geq1}\frac1{n^p}$	$p > 1$	$p \leq 1$	harmonisch, wenn p=1
Direct Comparison Test	$\sum_{n=0} a_n$	$0 \leq a_n \leq b_n$, $\sum_{n=0} b_n$ konvergiert	$0 \leq b_n \leq a_n$, $\sum_{n=0} b_n$ divergiert	Ungleichung muss für fast alle n stimmen; heißt auch Majoranten- & Minorantenkriterium
Leibniz-Kriterium	$\sum_{n\geq0}(-1)^n a_n$	$a_{n+1} \leq a_n$, $\lim_{n\to\infty}a_n=0$	$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$
Wurzelkriterium	$\sum_{n=0} a_n$	$\lim\sup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1$	$\lim\sup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} > 1$
Quotientenkriterium	$\sum_{n=0} a_n$	$\lim\sup_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1$	$\lim\sup_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1$

Cauchyprodukt

$(\sum_{n \geq 0} {a_n})(\sum_{n \geq 0} {b_n}) = \sum_{n \geq 0} (\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k})$

Potenzreihe

$\sum_{n\geq0} a_n(x-x_0)^n$

Asymptotischer Vergleich von Folgen

Beispiele zum Asymptotischen Vergleich von Folgen

Landau-Symbole

Seien $(a_{n})_{n\geq 0}$ und $(b_{n})_{n\geq 0}$ Folgen. Dann schreibt man für $n \to \infty$:

1. (i) $a_{n}=O(b_{n})$, falls es eine Konstante C>0 gibt, so dass $\left | \frac{a_{n}}{b_{n}} \right |\leq C$ für fast alle $n\in \mathbb{N}$ gilt.
2. (ii) $a_{n}=o(b_{n})$, falls $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}} = 0$ gilt.
3. (iii) $a_{n}\sim b_{n}$, falls $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}} = 1$ gilt.

Differential- und Integralrechnung in einer Variablen

Die Ableitung

Beispiele zur Differentialrechnung in einer Variablen

Differenzierbarkeit

Eine Funktion heißt differenzierbar im Punkt $x_0$, wenn

$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}}$ sowohl von links, als auch von rechts, existiert.

Produktregel

$(fg)'=f'g+fg'$

Quotientenregel

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$

Kettenregel

$\biggl(f\bigl(g(x)\bigr)\biggr)'=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

Umkehrregel

$(f^{-1})'(x)=\dfrac1{f\;'(f^{-1}(x))}$

Die Taylor'sche Formel und der Mittelwertsatz

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Mittelwertsatz: Ist f auf [a, b] differenzierbar, dann gibt es ein $x \in (a,b)$ mit

$f'(x_0) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Taylorreihe

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_0$

• differenzierbar und
• gilt $f(x_0)=g(x_0)=0$ und
• existiert $\lim_{x\to x_0}\left(\frac{f'(x)}{g'(x)}\right)$,

so gilt:

$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Eine analoge Aussage gilt für $x\to\infty$, oder auch falls $\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=\infty$.

Das unbestimmte Integral

Partielle Integration

$\int u\;dv=uv-\int v\;du$

alias

$\int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)$

Substitutionsregel

$\int f\bigl(u(x)\bigr)\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du$ mit $u=u(x)$

Das bestimmte Integral

Riemann'sche Zwischensumme

TODO

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Sei f stetig auf dem Intervall [a,b]. Dann gibt es ein $\epsilon \in [a,b]$, so dass $\int^b_a f(x) dx = f(\epsilon)(b-a)$.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Sei f eine auf dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist $F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\, dt$ eine Stammfunktion von f. Jede beliebige Stammfunktion F von f erfüllt:

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a)$

Anmerkung: Statt $F(b) - F(a)$ schreibt man kürzer auch $F(x)\Big|_a^b$.

Uneigentliche Integrale

Integralkriterium

Sei $f: [1, \infty) \to \mathbb{R}$ eine nichtnegative und monoton fallende Funktion. Dann ist das uneigentliche Integral

$\int_{1}^{\infty} f(x)\;dx$ genau dann konvergent, wenn die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ konvergiert.