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Folgen, Reihen und Funktionen

Folgen reeller Zahlen

Beispiele zu Folgen

Arten von Folgen:

• konstante Folge
• arithmetische Folge $a_n = a_0 + dn$
• geometrische Folge $a_n = a_0q^n$
• rekursive Folge

fast alle

alle bis auf endlich viele

ε-Umgebung

$U_\epsilon(a) = (a - \epsilon, a + \epsilon) = \{x\in\R \mid |x-a| < \epsilon\}$

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_n)_{n\geq0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h., falls

$\forall\epsilon > 0 \quad \exists N(\epsilon)\in\mathbb{N} \quad \forall n>N(\epsilon):|a_n-a|<\epsilon$

Häufungspunkt

Wenn in jeder $\epsilon$ - Umgebung von $a \in \mathbb{R}$ unendlich viele Folgenglieder liegen, so ist $a$ ein Häufungspunkt von $(a_n)_{n \geq 0}$.

Hauptsatz über monotone Folgen

Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

Sandwich-Theorem

Seien $(a_{n})_{n\geq 0}$ und $(b_{n})_{n\geq 0}$ konvergente Folgen mit $\lim_{n\rightarrow +\infty}a_{n} = \lim_{n\rightarrow +\infty}b_{n} = a$.

Sei $(c_{n})_{n\geq 0}$ eine Folge mit $a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}$ für fast alle $n \in\mathbb{N}$.

Dann folgt die Konvergenz von $c_{n}$ und es gilt $\lim_{n\rightarrow +\infty}c_{n} = a$.

Cauchyfolge

$\langle x_n\rangle_{n\in\mathbb N}:\quad\forall\varepsilon>0\quad\exists N(\varepsilon)\quad\forall n, m\geq N(\varepsilon):\quad\left|x_n-x_m\right|<\varepsilon$.

Eine Cauchy-Folge ist stets konvergent (in $\mathbb R$).

Unendliche Reihen

Beispiele zu Reihen

$\sum^\infty_{n=0} a_n$	Reihe
$\left(\sum^n_{k=0} a_k\right)_{n\geq0}$	Partialsummenfolge

Test	Reihe	konvergent	divergent	Notiz
Nullfolgenkriterium	$\sum^\infty_{n=0} a_n$	—	$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$
Geometrische Reihe	$\sum_{n\geq0} q^n$	$|q| < 1$	$|q| \geq 1$	Summe = $\frac1{1-q}$
Hyperharmonische Reihe	$\sum_{n\geq1}\frac1{n^p}$	$p > 1$	$p \leq 1$	harmonisch, wenn p=1
Direct Comparison Test	$\sum_{n=0} a_n$	$0 \leq |a_n| \leq b_n$, $\sum_{n=0} b_n$ konvergiert	$0 \leq b_n \leq a_n$, $\sum_{n=0} b_n$ divergiert	Ungleichung muss für fast alle n stimmen; heißt auch Majoranten- & Minorantenkriterium
Leibniz-Kriterium	$\sum_{n\geq0}(-1)^n a_n$	$a_{n+1} \leq a_n$, $\lim_{n\to\infty}a_n=0$	$\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$
Wurzelkriterium	$\sum_{n=0} a_n$	$\lim\sup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1$	$\lim\sup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} > 1$
Quotientenkriterium	$\sum_{n=0} a_n$	$\lim\sup_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1$	$\lim\sup_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1$

Cauchyprodukt

$(\sum_{n \geq 0} {a_n})(\sum_{n \geq 0} {b_n}) = \sum_{n \geq 0} (\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k})$

Potenzreihe

$\sum_{n\geq0} a_n(x-x_0)^n$

Asymptotischer Vergleich von Folgen

Beispiele zum Asymptotischen Vergleich von Folgen

Landau-Symbole

Seien $(a_{n})_{n\geq 0}$ und $(b_{n})_{n\geq 0}$ Folgen. Dann schreibt man für $n \to \infty$:

1. (i) $a_{n}=O(b_{n})$, falls es eine Konstante C>0 gibt, so dass $\left | \frac{a_{n}}{b_{n}} \right |\leq C$ für fast alle $n\in \mathbb{N}$ gilt.
2. (ii) $a_{n}=o(b_{n})$, falls $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}} = 0$ gilt.
3. (iii) $a_{n}\sim b_{n}$, falls $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}} = 1$ gilt.

Differential- und Integralrechnung in einer Variablen

Die Ableitung

Beispiele zur Differentialrechnung in einer Variablen

Differenzierbarkeit

Eine Funktion heißt differenzierbar im Punkt $x_0$, wenn

$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}}$ sowohl von links, als auch von rechts, existiert.

Produktregel

$(fg)'=f'g+fg'$

Quotientenregel

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$

Kettenregel

$\biggl(f\bigl(g(x)\bigr)\biggr)'=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

Umkehrregel

$(f^{-1})'(x)=\dfrac1{f\;'(f^{-1}(x))}$

Aus der Umkehrregel folgt:

$\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,   $\mathrm{arccos}\,' (x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,   $\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}$

Die Taylor'sche Formel und der Mittelwertsatz

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Mittelwertsatz: Ist f auf [a, b] differenzierbar, dann gibt es ein $x \in (a,b)$ mit

$f'(x_0) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Taylorreihe

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_0$

• differenzierbar und
• gilt $f(x_0)=g(x_0)=0$ und
• existiert $\lim_{x\to x_0}\left(\frac{f'(x)}{g'(x)}\right)$,

so gilt:

$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Eine analoge Aussage gilt für $x\to\infty$, oder auch falls $\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=\infty$.

Das unbestimmte Integral

Partielle Integration

$\int u\;dv=uv-\int v\;du$

alias

$\int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)$

Substitutionsregel

$\int f\bigl(u(x)\bigr)\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du$ mit $u=u(x)$

Das bestimmte Integral

Riemann'sche Zwischensumme

TODO

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Sei f stetig auf dem Intervall [a,b]. Dann gibt es ein $\epsilon \in [a,b]$, so dass $\int^b_a f(x) dx = f(\epsilon)(b-a)$.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Sei f eine auf dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist $F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\, dt$ eine Stammfunktion von f. Jede beliebige Stammfunktion F von f erfüllt:

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a)$

Anmerkung: Statt $F(b) - F(a)$ schreibt man kürzer auch $F(x)\Big|_a^b$.

Uneigentliche Integrale

Integralkriterium

Sei $f: [1, \infty) \to \mathbb{R}$ eine nichtnegative und monoton fallende Funktion. Dann ist das uneigentliche Integral

$\int_{1}^{\infty} f(x)\;dx$ genau dann konvergent, wenn die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ konvergiert.

Differentialgleichungen

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Die Lösungsgesamtheit der linearen Differentialgleichung $y' + a(x)y = s(x)$ ist gegeben durch $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$, wo

$y_h(x)$ die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung $y' + a(x)y = 0$ und

$y_p(x)$ eine beliebige partikuläre Lösung der gegebenen inhomogenen Gleichung ist.

1. Lösung der homogenen Gleichung durch "Trennung der Variablen",
2. Bestimmung einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung durch "Variation der Konstanten" und
3. Ermittlung der Lösungsgesamtheit gemäß $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$.