Hilfe:Analysis

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Folgen, Reihen und Funktionen[edit]

Folgen reeller Zahlen[edit]

Beispiele zu Folgen

Arten von Folgen:

  • konstante Folge
  • arithmetische Folge
  • geometrische Folge
  • rekursive Folge
fast alle
alle bis auf endlich viele
ε-Umgebung
Grenzwert
Eine reelle Zahl heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge , falls in jeder -Umgebung von fast alle Folgenglieder liegen, d.h., falls
Häufungspunkt
Wenn in jeder - Umgebung von unendlich viele Folgenglieder liegen, so ist ein Häufungspunkt von .
Hauptsatz über monotone Folgen
Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.
Sandwich-Theorem
Seien und konvergente Folgen mit .
Sei eine Folge mit für fast alle .
Dann folgt die Konvergenz von und es gilt .
Cauchyfolge
.
Eine Cauchy-Folge ist stets konvergent (in ).

Unendliche Reihen[edit]

Beispiele zu Reihen

Reihe
Partialsummenfolge
Test Reihe konvergent divergent Notiz
Nullfolgenkriterium
Geometrische Reihe Summe =
Hyperharmonische Reihe harmonisch, wenn p=1
Direct Comparison Test ,
konvergiert
,
divergiert
Ungleichung muss für fast alle n stimmen;
heißt auch Majoranten- & Minorantenkriterium
Leibniz-Kriterium ,
Wurzelkriterium
Quotientenkriterium
Cauchyprodukt
Potenzreihe

Asymptotischer Vergleich von Folgen[edit]

Beispiele zum Asymptotischen Vergleich von Folgen

Landau-Symbole

Seien und Folgen. Dann schreibt man für :

  1. (i) , falls es eine Konstante C>0 gibt, so dass für fast alle gilt.
  2. (ii) , falls gilt.
  3. (iii) , falls gilt.

Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit[edit]

Differential- und Integralrechnung in einer Variablen[edit]

Die Ableitung[edit]

Beispiele zur Differentialrechnung in einer Variablen

Differenzierbarkeit
Eine Funktion heißt differenzierbar im Punkt , wenn
sowohl von links, als auch von rechts, existiert.
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
Umkehrregel

Aus der Umkehrregel folgt:

,   ,  

Die Taylor'sche Formel und der Mittelwertsatz[edit]

Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Mittelwertsatz: Ist f auf [a, b] differenzierbar, dann gibt es ein mit
Taylorreihe
Regel von l'Hospital
Sind die Funktionen und in einer Umgebung von
  • differenzierbar und
  • gilt und
  • existiert ,
so gilt:
.
Eine analoge Aussage gilt für , oder auch falls .

Das unbestimmte Integral[edit]

Partielle Integration
alias
Substitutionsregel
mit

Das bestimmte Integral[edit]

Riemann'sche Zwischensumme
TODO
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Sei f stetig auf dem Intervall [a,b]. Dann gibt es ein , so dass .
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Sei f eine auf dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist eine Stammfunktion von f. Jede beliebige Stammfunktion F von f erfüllt:
Anmerkung: Statt schreibt man kürzer auch .

Uneigentliche Integrale[edit]

Integralkriterium
Sei eine nichtnegative und monoton fallende Funktion. Dann ist das uneigentliche Integral
genau dann konvergent, wenn die Reihe konvergiert.

Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen[edit]

Differentialgleichungen[edit]

Gewöhnliche Differentialgleichungen[edit]

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung[edit]

Die Lösungsgesamtheit der linearen Differentialgleichung ist gegeben durch , wo

die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung und
eine beliebige partikuläre Lösung der gegebenen inhomogenen Gleichung ist.
  1. Lösung der homogenen Gleichung durch "Trennung der Variablen",
  2. Bestimmung einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung durch "Variation der Konstanten" und
  3. Ermittlung der Lösungsgesamtheit gemäß .