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Beispiele zu Folgen
Arten von Folgen:
- konstante Folge
- arithmetische Folge
![{\displaystyle a_{n}=a_{0}+dn}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2b08f2e94fc8a442a00d4d0019633a82&mode=mathml)
- geometrische Folge
![{\displaystyle a_{n}=a_{0}q^{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fe3b09493e420167da5e3c455d1800fa&mode=mathml)
- rekursive Folge
- fast alle
- alle bis auf endlich viele
- ε-Umgebung
![{\displaystyle U_{\epsilon }(a)=(a-\epsilon ,a+\epsilon )=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-a|<\epsilon \}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=74eae334f9f53c2322cec378e27f9031&mode=mathml)
- Grenzwert
- Eine reelle Zahl
heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge
, falls in jeder
-Umgebung von
fast alle Folgenglieder
liegen, d.h., falls
![{\displaystyle \forall \epsilon >0\quad \exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=df66b0ce9f94e0456d675178cbfee698&mode=mathml)
- Häufungspunkt
- Wenn in jeder
- Umgebung von
unendlich viele Folgenglieder liegen, so ist
ein Häufungspunkt von
.
- Hauptsatz über monotone Folgen
- Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.
- Sandwich-Theorem
- Seien
und
konvergente Folgen mit
.
- Sei
eine Folge mit
für fast alle
.
- Dann folgt die Konvergenz von
und es gilt
.
- Cauchyfolge
.
- Eine Cauchy-Folge ist stets konvergent (in
).
Beispiele zu Reihen
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fd0dfa62c988e40eed01d2b6fd253c56&mode=mathml) |
Reihe
|
![{\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)_{n\geq 0}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=855f3adeb5f261b72a13e5ea873e4c18&mode=mathml) |
Partialsummenfolge
|
Test |
Reihe |
konvergent |
divergent |
Notiz
|
Nullfolgenkriterium |
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fd0dfa62c988e40eed01d2b6fd253c56&mode=mathml) |
— |
|
Geometrische Reihe |
![{\displaystyle \sum _{n\geq 0}q^{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5acdaadfa667ddc4b26c8ff1852744c0&mode=mathml) |
![{\displaystyle |q|<1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7c13fbb441fbdb1d17675043d6886c18&mode=mathml) |
![{\displaystyle |q|\geq 1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=487099ced27eaa0823203a7a06efa16b&mode=mathml) |
Summe =
|
Hyperharmonische Reihe |
![{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{p}}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d0090f563f00dcf767085f03f07e58ac&mode=mathml) |
![{\displaystyle p>1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c30a4409f92a86906dae6d31e51c5408&mode=mathml) |
![{\displaystyle p\leq 1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a2746d2adf45ffc548b06028143d0152&mode=mathml) |
harmonisch, wenn p=1
|
Direct Comparison Test |
|
,
konvergiert
|
,
divergiert
|
Ungleichung muss für fast alle n stimmen; heißt auch Majoranten- & Minorantenkriterium
|
Leibniz-Kriterium |
![{\displaystyle \sum _{n\geq 0}(-1)^{n}a_{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=46e444d17b54dc45731e9ecb6db834f7&mode=mathml) |
, ![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=46a6a2be712d29d98c2ee15bdfb9735f&mode=mathml) |
|
Wurzelkriterium |
![{\displaystyle \sum _{n=0}a_{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b40fee041ebbcfa2754f19d806a7a143&mode=mathml) |
![{\displaystyle \lim \sup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0508e1fc1b2efa9e228042f6990aaf0b&mode=mathml) |
|
Quotientenkriterium |
![{\displaystyle \sum _{n=0}a_{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b40fee041ebbcfa2754f19d806a7a143&mode=mathml) |
![{\displaystyle \lim \sup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ce4983a23d5c82a3e67466b97963075c&mode=mathml) |
|
- Cauchyprodukt
![{\displaystyle (\sum _{n\geq 0}{a_{n}})(\sum _{n\geq 0}{b_{n}})=\sum _{n\geq 0}(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0265b9b9081925f7c5a8842cad848d1d&mode=mathml)
- Potenzreihe
![{\displaystyle \sum _{n\geq 0}a_{n}(x-x_{0})^{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=90f652ef682b459a61ca91169a502d68&mode=mathml)
Beispiele zum Asymptotischen Vergleich von Folgen
- Landau-Symbole
Seien
und
Folgen. Dann schreibt man für
:
- (i)
, falls es eine Konstante C>0 gibt, so dass
für fast alle
gilt. - (ii)
, falls
gilt. - (iii)
, falls
gilt.
Beispiele zur Differentialrechnung in einer Variablen
- Differenzierbarkeit
- Eine Funktion heißt differenzierbar im Punkt
, wenn
sowohl von links, als auch von rechts, existiert.
- Produktregel
![{\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0edcd22f039a22ab4d468b15c216c1a8&mode=mathml)
- Quotientenregel
![{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1d8b4b46c792855639432bbcce586a1b&mode=mathml)
- Kettenregel
![{\displaystyle {\biggl (}f{\bigl (}g(x){\bigr )}{\biggr )}'=f'{\bigl (}g(x){\bigr )}\cdot g'(x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c6794a6d6d120e9dcaf77e04f5c1d846&mode=mathml)
- Umkehrregel
![{\displaystyle (f^{-1})'(x)={\dfrac {1}{f\;'(f^{-1}(x))}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ec08e7c849dc4334d834bb3fa5b8bb81&mode=mathml)
Aus der Umkehrregel folgt:
,
,
- Mittelwertsatz der Differentialrechnung
- Mittelwertsatz: Ist f auf [a, b] differenzierbar, dann gibt es ein
mit
![{\displaystyle f'(x_{0})={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fd231074037a1211f0f67a96150c250e&mode=mathml)
- Taylorreihe
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fd6005d0bb9a75211227d88b6d2961cc&mode=mathml)
- Regel von l'Hospital
- Sind die Funktionen
und
in einer Umgebung von
- differenzierbar und
- gilt
und
- existiert
,
- so gilt:
.
- Eine analoge Aussage gilt für
, oder auch falls
.
- Partielle Integration
![{\displaystyle \int u\;dv=uv-\int v\;du}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=67e3c13bfd436d4688de3c7f9a970bdd&mode=mathml)
- alias
![{\displaystyle \int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4e39442b25a53ed4497f6015295f912b&mode=mathml)
- Substitutionsregel
mit ![{\displaystyle u=u(x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a6dc34c49a16bf78e21557b4509a32a8&mode=mathml)
- Riemann'sche Zwischensumme
- TODO
- Mittelwertsatz der Integralrechnung
- Sei f stetig auf dem Intervall [a,b]. Dann gibt es ein
, so dass
.
- Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- Sei f eine auf dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist
eine Stammfunktion von f. Jede beliebige Stammfunktion F von f erfüllt:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=aab639e7c06073b0d51387d5c1e70649&mode=mathml)
- Anmerkung: Statt
schreibt man kürzer auch
.
- Integralkriterium
- Sei
eine nichtnegative und monoton fallende Funktion. Dann ist das uneigentliche Integral
genau dann konvergent, wenn die Reihe
konvergiert.
Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Lösungsgesamtheit der linearen Differentialgleichung
ist gegeben durch
, wo
die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung
und
eine beliebige partikuläre Lösung der gegebenen inhomogenen Gleichung ist.
- Lösung der homogenen Gleichung durch "Trennung der Variablen",
- Bestimmung einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung durch "Variation der Konstanten" und
- Ermittlung der Lösungsgesamtheit gemäß
.