Hilfe:Analysis

From VoWi
Jump to navigation Jump to search

Diese Seite ist:

Folgen, Reihen und Funktionen[edit]

Folgen reeller Zahlen[edit]

Beispiele zu Folgen

Arten von Folgen:

  • konstante Folge
  • arithmetische Folge a_n = a_0 + dn
  • geometrische Folge a_n = a_0q^n
  • rekursive Folge
fast alle
alle bis auf endlich viele
ε-Umgebung
U_\epsilon(a) = (a - \epsilon, a + \epsilon) = \{x\in\R \mid |x-a| < \epsilon\}
Grenzwert
Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge (a_n)_{n\geq0}, falls in jeder \epsilon-Umgebung von a fast alle Folgenglieder a_n liegen, d.h., falls
\forall\epsilon > 0 \quad \exists N(\epsilon)\in\mathbb{N} \quad \forall n>N(\epsilon):|a_n-a|<\epsilon
Häufungspunkt
Wenn in jeder \epsilon - Umgebung von a \in \mathbb{R} unendlich viele Folgenglieder liegen, so ist a ein Häufungspunkt von (a_n)_{n \geq 0}.
Hauptsatz über monotone Folgen
Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.
Sandwich-Theorem
Seien (a_{n})_{n\geq 0} und (b_{n})_{n\geq 0} konvergente Folgen mit \lim_{n\rightarrow +\infty}a_{n} = \lim_{n\rightarrow +\infty}b_{n} = a.
Sei (c_{n})_{n\geq 0} eine Folge mit a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} für fast alle n \in\mathbb{N}.
Dann folgt die Konvergenz von c_{n} und es gilt \lim_{n\rightarrow +\infty}c_{n} = a.
Cauchyfolge
\langle x_n\rangle_{n\in\mathbb N}:\quad\forall\varepsilon>0\quad\exists N(\varepsilon)\quad\forall n, m\geq N(\varepsilon):\quad\left|x_n-x_m\right|<\varepsilon.
Eine Cauchy-Folge ist stets konvergent (in \mathbb R).

Unendliche Reihen[edit]

Beispiele zu Reihen

\sum^\infty_{n=0} a_n Reihe
\left(\sum^n_{k=0} a_k\right)_{n\geq0} Partialsummenfolge
Test Reihe konvergent divergent Notiz
Nullfolgenkriterium \sum^\infty_{n=0} a_n \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0
Geometrische Reihe \sum_{n\geq0} q^n |q| < 1 |q| \geq 1 Summe = \frac1{1-q}
Hyperharmonische Reihe \sum_{n\geq1}\frac1{n^p} p > 1 p \leq 1 harmonisch, wenn p=1
Direct Comparison Test \sum_{n=0} a_n 0 \leq a_n \leq b_n,
\sum_{n=0} b_n konvergiert
0 \leq b_n \leq a_n,
\sum_{n=0} b_n divergiert
Ungleichung muss für fast alle n stimmen;
heißt auch Majoranten- & Minorantenkriterium
Leibniz-Kriterium \sum_{n\geq0}(-1)^n a_n a_{n+1} \leq a_n, \lim_{n\to\infty}a_n=0 \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0
Wurzelkriterium \sum_{n=0} a_n \lim\sup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1 \lim\sup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} > 1
Quotientenkriterium \sum_{n=0} a_n \lim\sup_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1 \lim\sup_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1
Cauchyprodukt
(\sum_{n \geq 0} {a_n})(\sum_{n \geq 0} {b_n}) = \sum_{n \geq 0} (\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k})
Potenzreihe
\sum_{n\geq0} a_n(x-x_0)^n

Asymptotischer Vergleich von Folgen[edit]

Beispiele zum Asymptotischen Vergleich von Folgen

Landau-Symbole

Seien (a_{n})_{n\geq 0} und (b_{n})_{n\geq 0} Folgen. Dann schreibt man für n \to \infty:

  1. (i) a_{n}=O(b_{n}), falls es eine Konstante C>0 gibt, so dass \left | \frac{a_{n}}{b_{n}} \right |\leq C für fast alle n\in \mathbb{N} gilt.
  2. (ii) a_{n}=o(b_{n}), falls \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}} = 0 gilt.
  3. (iii) a_{n}\sim b_{n}, falls \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}} = 1 gilt.

Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit[edit]

Differential- und Integralrechnung in einer Variablen[edit]

Die Ableitung[edit]

Beispiele zur Differentialrechnung in einer Variablen

Differenzierbarkeit
Eine Funktion heißt differenzierbar im Punkt x_0, wenn
\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} sowohl von links, als auch von rechts, existiert.
Produktregel
(fg)'=f'g+fg'
Quotientenregel
\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}
Kettenregel
\biggl(f\bigl(g(x)\bigr)\biggr)'=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)
Umkehrregel
(f^{-1})'(x)=\dfrac1{f\;'(f^{-1}(x))}

Die Taylor'sche Formel und der Mittelwertsatz[edit]

Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Mittelwertsatz: Ist f auf [a, b] differenzierbar, dann gibt es ein x \in (a,b) mit
f'(x_0) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
Taylorreihe
f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
Regel von l'Hospital
Sind die Funktionen f und g in einer Umgebung von x_0
  • differenzierbar und
  • gilt f(x_0)=g(x_0)=0 und
  • existiert \lim_{x\to x_0}\left(\frac{f'(x)}{g'(x)}\right),
so gilt:
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Eine analoge Aussage gilt für x\to\infty, oder auch falls \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=\infty.

Das unbestimmte Integral[edit]

Partielle Integration
\int u\;dv=uv-\int v\;du
alias
\int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)
Substitutionsregel
\int f\bigl(u(x)\bigr)\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du mit u=u(x)

Das bestimmte Integral[edit]

Riemann'sche Zwischensumme
TODO
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Sei f stetig auf dem Intervall [a,b]. Dann gibt es ein \epsilon \in [a,b], so dass \int^b_a f(x) dx = f(\epsilon)(b-a).
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Sei f eine auf dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\, dt eine Stammfunktion von f. Jede beliebige Stammfunktion F von f erfüllt:
\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a)
Anmerkung: Statt F(b) - F(a) schreibt man kürzer auch F(x)\Big|_a^b.

Uneigentliche Integrale[edit]

Integralkriterium
Sei f: [1, \infty) \to \mathbb{R} eine nichtnegative und monoton fallende Funktion. Dann ist das uneigentliche Integral
\int_{1}^{\infty} f(x)\;dx genau dann konvergent, wenn die Reihe \sum_{n=1}^{\infty} f(n) konvergiert.

Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen[edit]

Differentialgleichungen[edit]

Gewöhnliche Differentialgleichungen[edit]

Lineare Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung[edit]