Hilfe:Analysis

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Folgen, Reihen und Funktionen[edit]

Folgen reeller Zahlen[edit]

Beispiele zu Folgen

Arten von Folgen:

  • konstante Folge
  • arithmetische Folge a_n = a_0 + dn
  • geometrische Folge a_n = a_0q^n
  • rekursive Folge
fast alle
alle bis auf endlich viele
ε-Umgebung
U_\epsilon(a) = (a - \epsilon, a + \epsilon) = \{x\in\R \mid |x-a| < \epsilon\}
Grenzwert
Eine reelle Zahl a heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge (a_n)_{n\geq0}, falls in jeder \epsilon-Umgebung von a fast alle Folgenglieder a_n liegen, d.h., falls
\forall\epsilon > 0 \quad \exists N(\epsilon)\in\mathbb{N} \quad \forall n>N(\epsilon):|a_n-a|<\epsilon
Häufungspunkt
Wenn in jeder \epsilon - Umgebung von a \in \mathbb{R} unendlich viele Folgenglieder liegen, so ist a ein Häufungspunkt von (a_n)_{n \geq 0}.
Hauptsatz über monotone Folgen
Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.
Sandwich-Theorem
Seien (a_{n})_{n\geq 0} und (b_{n})_{n\geq 0} konvergente Folgen mit \lim_{n\rightarrow +\infty}a_{n} = \lim_{n\rightarrow +\infty}b_{n} = a.
Sei (c_{n})_{n\geq 0} eine Folge mit a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} für fast alle n \in\mathbb{N}.
Dann folgt die Konvergenz von c_{n} und es gilt \lim_{n\rightarrow +\infty}c_{n} = a.
Cauchyfolge
\langle x_n\rangle_{n\in\mathbb N}:\quad\forall\varepsilon>0\quad\exists N(\varepsilon)\quad\forall n, m\geq N(\varepsilon):\quad\left|x_n-x_m\right|<\varepsilon.
Eine Cauchy-Folge ist stets konvergent (in \mathbb R).

Unendliche Reihen[edit]

Beispiele zu Reihen

\sum^\infty_{n=0} a_n Reihe
\left(\sum^n_{k=0} a_k\right)_{n\geq0} Partialsummenfolge
Test Reihe konvergent divergent Notiz
Nullfolgenkriterium \sum^\infty_{n=0} a_n \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0
Geometrische Reihe \sum_{n\geq0} q^n |q| < 1 |q| \geq 1 Summe = \frac1{1-q}
Hyperharmonische Reihe \sum_{n\geq1}\frac1{n^p} p > 1 p \leq 1 harmonisch, wenn p=1
Direct Comparison Test \sum_{n=0} a_n 0 \leq |a_n| \leq b_n,
\sum_{n=0} b_n konvergiert
0 \leq b_n \leq a_n,
\sum_{n=0} b_n divergiert
Ungleichung muss für fast alle n stimmen;
heißt auch Majoranten- & Minorantenkriterium
Leibniz-Kriterium \sum_{n\geq0}(-1)^n a_n a_{n+1} \leq a_n, \lim_{n\to\infty}a_n=0 \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0
Wurzelkriterium \sum_{n=0} a_n \lim\sup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1 \lim\sup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} > 1
Quotientenkriterium \sum_{n=0} a_n \lim\sup_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1 \lim\sup_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1
Cauchyprodukt
(\sum_{n \geq 0} {a_n})(\sum_{n \geq 0} {b_n}) = \sum_{n \geq 0} (\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k})
Potenzreihe
\sum_{n\geq0} a_n(x-x_0)^n

Asymptotischer Vergleich von Folgen[edit]

Beispiele zum Asymptotischen Vergleich von Folgen

Landau-Symbole

Seien (a_{n})_{n\geq 0} und (b_{n})_{n\geq 0} Folgen. Dann schreibt man für n \to \infty:

  1. (i) a_{n}=O(b_{n}), falls es eine Konstante C>0 gibt, so dass \left | \frac{a_{n}}{b_{n}} \right |\leq C für fast alle n\in \mathbb{N} gilt.
  2. (ii) a_{n}=o(b_{n}), falls \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}} = 0 gilt.
  3. (iii) a_{n}\sim b_{n}, falls \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}} = 1 gilt.

Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit[edit]

Differential- und Integralrechnung in einer Variablen[edit]

Die Ableitung[edit]

Beispiele zur Differentialrechnung in einer Variablen

Differenzierbarkeit
Eine Funktion heißt differenzierbar im Punkt x_0, wenn
\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} sowohl von links, als auch von rechts, existiert.
Produktregel
(fg)'=f'g+fg'
Quotientenregel
\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}
Kettenregel
\biggl(f\bigl(g(x)\bigr)\biggr)'=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)
Umkehrregel
(f^{-1})'(x)=\dfrac1{f\;'(f^{-1}(x))}

Aus der Umkehrregel folgt:

\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},   \mathrm{arccos}\,' (x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},   \arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}

Die Taylor'sche Formel und der Mittelwertsatz[edit]

Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Mittelwertsatz: Ist f auf [a, b] differenzierbar, dann gibt es ein x \in (a,b) mit
f'(x_0) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
Taylorreihe
f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
Regel von l'Hospital
Sind die Funktionen f und g in einer Umgebung von x_0
  • differenzierbar und
  • gilt f(x_0)=g(x_0)=0 und
  • existiert \lim_{x\to x_0}\left(\frac{f'(x)}{g'(x)}\right),
so gilt:
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Eine analoge Aussage gilt für x\to\infty, oder auch falls \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=\infty.

Das unbestimmte Integral[edit]

Partielle Integration
\int u\;dv=uv-\int v\;du
alias
\int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)
Substitutionsregel
\int f\bigl(u(x)\bigr)\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du mit u=u(x)

Das bestimmte Integral[edit]

Riemann'sche Zwischensumme
TODO
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Sei f stetig auf dem Intervall [a,b]. Dann gibt es ein \epsilon \in [a,b], so dass \int^b_a f(x) dx = f(\epsilon)(b-a).
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Sei f eine auf dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\, dt eine Stammfunktion von f. Jede beliebige Stammfunktion F von f erfüllt:
\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a)
Anmerkung: Statt F(b) - F(a) schreibt man kürzer auch F(x)\Big|_a^b.

Uneigentliche Integrale[edit]

Integralkriterium
Sei f: [1, \infty) \to \mathbb{R} eine nichtnegative und monoton fallende Funktion. Dann ist das uneigentliche Integral
\int_{1}^{\infty} f(x)\;dx genau dann konvergent, wenn die Reihe \sum_{n=1}^{\infty} f(n) konvergiert.

Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen[edit]

Differentialgleichungen[edit]

Gewöhnliche Differentialgleichungen[edit]

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung[edit]

Die Lösungsgesamtheit der linearen Differentialgleichung y' + a(x)y = s(x) ist gegeben durch y(x) = y_h(x) + y_p(x), wo

y_h(x) die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung y' + a(x)y = 0 und
y_p(x) eine beliebige partikuläre Lösung der gegebenen inhomogenen Gleichung ist.
  1. Lösung der homogenen Gleichung durch "Trennung der Variablen",
  2. Bestimmung einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung durch "Variation der Konstanten" und
  3. Ermittlung der Lösungsgesamtheit gemäß y(x) = y_h(x) + y_p(x).