Hilfe:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie

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Zufallsvariablen und Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Diskrete Zufallsvariablen werden durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion (probability mass function, pmf) dargestellt:

$p(a)=P(X=a)$

• Es gilt immer $0\leq p(a)\leq 1$

Dichtefunktion

Stetige Zufallsvariablen werden durch eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(x)$ (probability density function, pdf) dargestellt:

• f ist nichtnegativ: $f(x)\geq 0$
• Die Fläche unter f ist Eins: ${\textstyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1}$
• Um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten muss man die Funktion integrieren.

$P(c\leq X\leq d)=\int _{c}^{d}f(x)dx$

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion (cumulative distribution function, cdf) ist definiert durch

$F_{X}(x)=P(X\leq x),{\text{ für alle }}x\in \mathbb {R}$

Eine Verteilungsfunktion hat folgende Eigenschaften:

• $0\leq F(x)\leq 1\quad \forall x\in \mathbb {R}$
• F ist monoton wachsend
• $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$ und $\lim _{x\to +\infty }F(x)=1$
• F ist rechtsstetig, d.h. $\lim _{h\searrow 0}F(x+h)=F(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$

Es gilt:

• $P(X>x)=1-P(X\leq x)=1-F(x)$
• $P(a\leq X\leq b)=F(b)-F(a)$

Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen ist gegeben durch:

$F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)dt$

Quartile

• $x_{0.25}$ ... unteres Quartil
• $x_{0.5}$ ... Median
• $x_{0.75}$ ... oberes Quartil

Erwartungswert

Wird oft mit $\mu$ abgekürzt.

Der Erwartungswert für eine diskrete Zufallsvariable ist definiert durch:

$E(X)=\sum x_{i}\cdot p(x_{i})$

Der Erwartungswert für eine stetige Zufallsvariable ist definiert durch:

$E(X)=\int _{-\infty }^{+\infty }x\cdot f(x)dx$

Es wird angenommen, dass die Summe und das Integral absolut konvergent sind!

• gewichteter Mittelwert der möglichen Ausprägungen von X
• Maß für die zentrale Tendenz

$E(X^{k})$ ... Moment der Ordnung k von X

Varianz

$\sigma ^{2}={\text{Var}}(X)=E(X-E(X))^{2}$

Standardabweichung

$\sigma ={\sqrt {{\text{Var}}(X)}}$

Verteilungen

Diskrete

• Bernoulli-Verteilung $X\sim ber(p)$ — nur zwei mögliche Versuchsausgänge (Erfolg und Misserfolg)
• Binomialverteilung $X\sim B(n,p)$ — Anzahl der Erfolge in unabhängigen Bernoulli-Versuchen
• Geometrische Verteilung
• Poisson-Verteilung $X\sim Poi(\lambda )$

Kontinuierliche

• Gleichverteilung
• Exponentialverteilung
• Normalverteilung (Gauß) $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$

R-Funktionen

	Verteilung	Dichte	Verteilung	Quantile	Random deviates
Diskrete	Binomial	dbinom()	pbinom()	qbinom()	rbinom()
	Geometrisch	dgeom()	pgeom()	qgeom()	rgeom()
	Poisson	dpois()	ppois()	qpois()	rpois()
Kontinuierliche	Uniform	dunif()	punif()	qunif()	runif()
	Exponential	dexp()	pexp()	qexp()	rexp()
	Normal	dnorm()	pnorm()	qnorm()	rnorm()

Statistik

Wie verteilt sich der Mittelwert unter Normalverteilung?

Seien $X_{1},\dots ,X_{n}$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariable und $X_{1}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$

Dann ist ${\bar {X}}={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2}/n)$

• ebenfalls normalverteilt
• ebenfalls Erwartungswert $\mu$
• kleinere Standardabweichung

Standardisieren:

$Z={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma /{\sqrt {n}}}}\sim N(0,1)$

beim z-Test:

• $\mu$ durch Nullhypothese gegeben: $H_{0}:\mu =\mu _{0}$
• $\sigma$ als bekannt angenommen

empirische Standardabweichung S

$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$

t-Verteilung

$T={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{S/{\sqrt {n}}}}\sim t(n-1)$

nähert sich für steigende Freiheitsgrade n der N(0,1)-Verteilung an

Standardfehler des arithmetischen Mittels

$\sigma /{\sqrt {n}}$