Kategorie:Integrabilitätsbedingung

Integrabilitätsbedingung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein stetig differenzierbares Gradientenfeld ${\displaystyle f}$ erfüllt folgende s.g. Integrabilitätsbedingung:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}\quad \forall \,i,j\in \{1\dots n\}}$

In ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ wären das also ${\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}={\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}}$, ${\displaystyle {\frac {\partial f_{2}}{\partial z}}={\frac {\partial f_{3}}{\partial y}}}$ und ${\displaystyle {\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}}$.

Dies ist hinreichend auf einfach zusammenhängenden Gebieten.

Einfach zusammenhängendes Gebiet[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gebiet[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine offene und zusammenhängende (und nichtleere) Teilmenge ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ heißt Gebiet. "Zusammenhängend" bedeutet dabei, dass zu je zwei beliebigen Punkten eine Kurve existiert welche diese verbindet und "offen", dass es keine Randpunkte gibt.

In einem einfach zusammenhängenden Gebiet (siehe auch Definition eines Gebiets) lässt sich jede geschlossene Kurve stetig auf einen Punkt auf ihr "zusammenziehen". Oder noch salopper formuliert darf es keine "durchgehende Löcher" ("Henkel") geben (eine geschlossene Kurve würde sich dort herum nicht zu einem Punkt zusammenziehen lassen).

Im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ gehört der klassische Torus damit nicht dazu, allerdings schon eine Hochkugel. In ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ darf es einfach keine vollständig umschlossenen Löcher geben.