TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 193

In einer Menge von n Personen können 10 Personen Deutsch, 7 Englisch, 5 Französisch, 6 Deutsch und Englisch, 4 Deutsch und Französisch, 3 Englisch und Französisch, 3 alle drei Sprachen und niemand keine der drei Sprachen. Wie groß ist n?

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Siebformel (Ergänzung von mnemetz)

Die Siebformel von Poincaré und Sylvester, auch Formel des Ein- und Ausschließens oder Inklusions-Exklusionsprinzip genannt, dient dazu, die Anzahl der Elemente (Mächtigkeit) einer endlichen Vereinigung nicht-disjunkter Mengen $A_{1},\dots ,A_{n}$ zu berechnen. Sie wird in der Kombinatorik und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet.

Variablen

P ... Menge aller Personen ($P=D\cup E\cup F$)

n ... Anzahl der Personen, entspricht der Mächtigkeit von P ($n=|P|$)

D ... Menge aller Personen die Deutsch sprechen

E ... Menge aller Personen die Englisch sprechen

F ... Menge aller Personen die Französisch sprechen

Lösungsvorschlag von Soymilk-Drinker

Gesucht ist n also die Mächtigkeit von P. P ist ja wiederum die Vereinigung von D, E und F. Um also auf die Mächtigkeit von P zu kommen verwendet man die Siebformel

$n=|P|=|D|+|E|+|F|-|D\cap E|-|D\cap F|-|E\cap F|+|D\cap E\cap F|$

Alle einzelnen Komponenten sind durch die Angabe gegeben

$|D|=10$ (Anzahl der Personen die Deutsch sprechen)

$|E|=7$

$|F|=5$

$|D\cap E|=6$ (Anzahl der Personen die Deutsch und Englisch sprechen)

$|D\cap F|=4$

$|E\cap F|=3$

$|D\cap E\cap F|=3$ (Anzahl der Personen die alle drei Sprachen sprechen)

Man muss also nur noch in die vorherige Formel einsetzen und erhält die Gesamtanzahl der Personen:

$n=|P|=10+7+5-6-4-3+3=12$

Die gesamte Menge umfasst also 12 Personen

Ähnliches Beispiel

• TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS07/Beispiel_159