TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 141

Aus VoWi
Wechseln zu: Navigation, Suche

Man zeige, daß die Funktion f:\mathbb{R\setminus\{\textrm{7}\}}\rightarrow\mathbb{R\setminus\{\textrm{2}\}},\quad y=\frac{2x+1}{x-7} bijektiv ist und bestimme ihre Umkehrfunktion.

Lösung (wurde vom UE-Leiter vorgerechnet, könnte also evtl. stimmen :-) )[Bearbeiten]

Injektivität[Bearbeiten]

f(x_1)=f(x_2)\Longrightarrow x_1=x_2

\frac{2x_1+1}{x_1-7} = \frac{2x_2+1}{x_2-7}

\begin{array}{rcl}
(2x_1+1)(x_2-7) &=& (2x_2+1)(x_1-7)\\
2x_{1}x_{2}+x_{2}-14x_{1}-7 &=& 2x_{2}x_{1}+x_{1}-14x_{2}-7
\end{array}

Kürzen:

15x_{2}=15x_{1}\;\surd

Surjektivität[Bearbeiten]

\forall y\in\mathbb{R\setminus\{\textrm{2}\}}\;\exists x: f(x)=y

\begin{array}{rcl}
y(x-7) &=& 2x+1\\
yx-7y &=& 2x+1\\
-7y-1 &=& 2x-yx\\
-7y-1 &=& x(2-y)
\end{array}

x=\frac{7y+1}{y-2}\;\in\mathbb{R\setminus\{\textrm{2}\}}\;\surd

Injektivität \and Surjektivität \rightarrow Bijektivität.

Die im Surjektivitätsbeweis gefundene Formel ist gleichzeitig die Umkehrfunktion f^{-1}() von f().

Puh, viel Spaß damit,

--Baccus 05:26, 26. Nov 2006 (CET)

Ergänzung von mathematica4:[Bearbeiten]

Um die Umkehrfunktion f^{-1} einer Funktion f zu bilden, muss man zum Schluss noch einen Variablentausch machen, d.h. x und y vertauschen.

Die Umkehrfunktion lautet also:

y=\frac{7x+1}{x-2}\;