TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 171

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Wie viele natürliche Zahlen n < 1.000.000 enthalten in ihrer Dezimalentwicklung genau vier mal die Ziffer 2?

vergleiche Bsp 143

1. Zahlen < 1.000.000 sehen haben in ihrer Dezimalentwicklung 6 Stellen

a_5*10^5 + a_4*10^4 + a_3*10^3 + a_2*10^2 + a_1*10^1 + a_0*10^0

Dabei gilt a_k \in \{0,1,2,..,9\} (10 Möglichkeiten)

2. Die Aufgabenstellung lässt sich in zwei Teilaufgaben unterteilen:

2.a) Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier 2er mit zwei unbekannten Zahlen zu kombinieren (Kombination ohne Wiederholung)? Das lässt sich leicht berechnen, indem man sich überlegt wieviele Permutationen der Menge M = \{2_0, 2_1, 2_2, 2_3, X_0, X_1\} es gibt, und anschließend durch die Anzahl der gleichen Kombinationen dividiert

 \left( 2_0, 2_1, 2_2, 2_3, X_0, X_1\right) = \left(2_3, 2_2, 2_1, 2_0, X_0, X_1\right)


\frac{\left|M\right|!}{\left|M_2\right|!*\left|M_X\right|!} = 
\frac{6!}{2!*4!} = 
\frac{6*5}{2} = 
15

2.b) Wieviele verschiedene Kombinationen aus zwei Zahlen der Menge \{0,1,3,4,5,6,7,8,9\} gibt es? Es gibt für jede der beiden Zahl 9 Möglichkeiten, also insgesamt 9^2 = 81 mögliche Kombinationen.

3. Verknüpfen der beiden Teilergebnisse ergibt 81 * 15 = 1215 Zahlen < 1.000.000, mit vier 2ern.

mfg, --W wallner

Alternative Lösung[Bearbeiten]

Das Problem kann man in zwei Teile zerlegen:

  1. Permutation mit Wiederholung der Multimenge \{ X, X, 2, 2, 2, 2 \} (zwei beliebigen Ziffern X \in \{ 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 \}): \frac{(n_4 + n_X)!}{n_4! \cdot n_X!} = \frac{(4 + 2)!}{4! \cdot 2!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = 15
  2. Variation mit Wiederholung der Multimenge \{ X, X \} (die zwei zu wählenden Ziffern): n^k = 9^2 = 81

Gemäß der Produktregel werden diese zwei Ergebnisse nun multipliziert: 81 \cdot 15 = 1215.

-- Superwayne 22:53, 26. Nov. 2014 (CET)