TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 183

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Wie viele Möglichkeite gibt es, k ununterscheidbare Kugeln auf n unterscheidbare Kästchen zu verteilen, wenn jedes Kästchen beliebig viele Kugeln (einschließlich 0) aufnehmen kann?

Lösungsvorschlag von mnemetz[edit]

Ich bin mir nicht so sicher ob das so stimmt :-/ --Mnemetz 15:02, 25. Nov 2005 (CET) ?? = also ich weis nicht leute .. aber normalerweiser steht n fuer die Anzahl der Kugeln .. und k fuer die Anzahl der Loecher oder kaestchen.. aber in diesem beispiel steht k fuer die Anzahl der Kugeln und n fuer die Anzahl der Loecher .. ist es nicht so? .. aber es ist aufjedenfall zu Spät jetzt .. :P

Reaso: Naja man stellt sich die Ausgangssituation hier etwas anders vor. Du kannst dir vorstellen, dass du n unterschiedliche Typen von Kugeln hast (jene die in Fach 1, Fach 2.... Fach n landen) A={} Aus diesen n ziehst du im Endeffekt k (k entstspricht ja laut Angabe der Anzahl der Kugeln) mal! -> |A|= Anzahl der Fächer= n -> k=Wie oft musst du das ganze Wiederholen!

Kombination mit Wiederholung[edit]

Es liegt eine sogenannte "Kombination mit Wiederholung" vor. Darunter versteht man ein ungeordnetes k-Tupel von nicht notwendigerweise verschiedenen Elementen von A. Also liegt eine k-elementige Multimenge mit Elementen von A vor.

Die Anzahl der Kombinationen mit Wiederholungen sind definiert als:

"Zeichendekodierung" ;-)

  • w steht für Wiederholung
  • C steht für Kombinationen
  • k steht für die Anzahl der Wiederholungen aus den Elementen der Multimenge A
  • n steht für die Anzahl der Permutationen von A

Was versteht man darunter?

  • A = ... n verschiedene Elemente in der Menge
  • Multimenge liegt vor, wenn jedes Element Mal vorkommt.

Beweis der Kombination mit Wiederholung[edit]

Durch vollständige Induktion:

  • Elemente mit
  • Vollständige Induktion ergibt:
    • Es gilt
    • wobei

QED.

Beispiel[edit]

  • Anzahl der Kugeln k = 6
  • Anzahl der Kästchen n = 3

Es gibt also 56 möglichkeiten, 6 Kugeln in drei Löchern zu platzieren.


Achtung, Angaben- oder Rechendreher! Lösung stimmt für 3 Kugeln (k) und 6 Kästchen (n). --PSX 00:00, 6. Jan. 2010 (CET) Der Grund ist die verdrehte Angabe. Wie schon ganz oben beschrieben kann man sich das ganze auch anders vorstellen, nämlich dass man k mal aus einer Urne mit n verschiedenen Kugeltypen zieht. Die Lösung ist dann eine Kombination mit Wiederholung, jedoch sind n und k vertauscht.