TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 188

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In einer Menge von n Personen können 10 Personen Deutsch, 7 Englisch, 5 Französisch, 6 Deutsch und Englisch, 4 Deutsch und Französisch, 3 Englisch und Französisch, 3 alle drei Sprachen und niemand keine der drei Sprachen. Wie groß ist n?

Siebformel (Ergänzung von mnemetz)[Bearbeiten]

Die Siebformel von Poincaré und Sylvester, auch Formel des Ein- und Ausschließens oder Inklusions-Exklusionsprinzip genannt, dient dazu, die Anzahl der Elemente (Mächtigkeit) einer endlichen Vereinigung nicht-disjunkter Mengen A_1,\dots,A_n zu berechnen. Sie wird in der Kombinatorik und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet.

Variablen[Bearbeiten]

P ... Menge aller Personen ( P = D \cup E \cup F )

n ... Anzahl der Personen, entspricht der Mächtigkeit von P ( n = |P| )

D ... Menge aller Personen die Deutsch sprechen

E ... Menge aller Personen die Englisch sprechen

F ... Menge aller Personen die Französisch sprechen

Lösungsvorschlag von Soymilk-Drinker[Bearbeiten]

Gesucht ist n also die Mächtigkeit von P. P ist ja wiederum die Vereinigung von D, E und F. Um also auf die Mächtigkeit von P zu kommen verwendet man die Siebformel

 n = |P| = |D| + |E| + |F| - |D \cap E| - |D \cap F| - |E \cap F| + |D \cap E \cap F|

Alle einzelnen Komponenten sind durch die Angabe gegeben

 |D| = 10 (Anzahl der Personen die Deutsch sprechen)

 |E| = 7

 |F| = 5

 |D \cap E| = 6 (Anzahl der Personen die Deutsch und Englisch sprechen)

 |D \cap F| = 4

 |E \cap F| = 3

 |D \cap E \cap F| = 3 (Anzahl der Personen die alle drei Sprachen sprechen)

Man muss also nur noch in die vorherige Formel einsetzen und erhält die Gesamtanzahl der Personen:

 n = |P| = 10 + 7 + 5 - 6 - 4 - 3 + 3 = 12

Die gesamte Menge umfasst also 12 Personen

Ähnliches Beispiel[Bearbeiten]