TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 21

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Man untersuche mittels vollständiger Induktion, für welche folgende Ungleichung gilt:

(ist auch Induktionsvoraussetzung, d.h. wir gehen davon aus, dass dies eine wahre Aussage ist)

Durch herumprobieren kommt man darauf, dass diese Ungleichung ab 8 gilt. Falls jemand weiß, wie man sie löst, kann er bitte die Lösung reinschreiben.

1.für welche n>=0 gilt die Ungleichung[edit]

Einsetzten der Zahlen und schauen ob und ab wann die Aussage wahr ist:

  • Wahre Aussage
  • Falsche Aussage
  • Falsche Aussage
  • Falsche Aussage
  • Falsche Aussage
  • Wahre Aussage

Ab 8 ist die Aussage wahr, wird auch für alle folgendne Zahlen so bleiben, da schneller wächst als ab 8 gilt die Ungleichung

2. der Beweis mit vollständiger Induktion[edit]

Durch das Induktionsprinzip erhalten wir die Ungleichung:






Durch diverse Umformungen erhalten wir obige Ungleichung, wo wir auf der rechten Seite wieder eine Ausdruck haben (), der in der ursprünglichen wahren Aussage vorhanden ist, dass Prinzip der vollständigen Induktion wäre jetzt, die ursprüngliche Aussage einfließen lassen, bis wir wieder auf eine wahre Aussage kommen.





Weiters wissen wir die Induktionsvorraussetzung:

Daraus folgt die Abschätzung:









Also gilt die Behauptung für Alle n größer gleich 2! Da die Vorraussetzung erst ab n=8 gilt, stimmt die Aussage für alle n>=8

Hoffe die Weiterführung ist korrekt Mit freundlichen Grüßen Martin

Vorschlag zum Rausfinden des Induktionsanfangs:

Man kann die linke und die rechte Seite der Ungleichung als zwei Funktionen darstellen.
Dort wo sich die beiden Funktionen schneiden ergibt sich der Induktionsanfang.

- wie gesagt ist nur ein Vorschlag - Mit freundlichen Grüßen Morten

-blauerApfel: (gleich wie oben nur ohne brüche)





Weiters wissen wir die Induktionsvorraussetzung:

Daraus folgt die Abschätzung:













q.e.d