TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 214

Bestimmen sie die allgemeine Lösung der Differenzengleichung: $a_n = \frac{n}{n+2}.a_{n-1} + \frac {1}{n^2 + 3n + 2}$

Lösungsvorschlag von ...

Post im Forum der im wesentlichen das selbe besagt. Hier hab ich mich bemueht etwas mehr Rechenschritten dazwischen zu machen...

Angabe umformen

In der Angabe ist nicht $a_{n+1}$ explizit:

$a_n = \frac{n}{n+2}.a_{n-1} + \frac {1}{n^2 + 3n + 2}$

Damit die Formeln aus dem Buch angewendet werden koennen, muss zuerst die Angabe umgeformt werden. Dies geschieht, indem einfach statt n eben n+1 eingesetzt wird:

$a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+2}a_{(n+1)-1} + \frac {1}{(n+1)^2 + 3(n+1) + 2} = \frac{n+1}{n+3}a_{n} + \frac {1}{n^2 + 2n + 1 + 3n + 3 + 2} = \frac{n+1}{n+3}a_{n} + \frac {1}{n^2 + 5n + 6}$

Lösung der homogenen Gleichung

Mit der umgeformten Angabe ist die Lösung der homogenen Gleichung $x_n^{(h)} = C * \prod_{i=0}^{n-1}\frac{i+1}{i+3}$

• Einfaches ausrechnen des Produktes $\prod_{i=0}^{n-1}\frac{i+1}{i+3}$ ergibt schnell $\frac{2}{(n+1)(n+2)}$

Anmerkung von --Lewurm 22:42, 29. Jun 2008 (CEST)

das kann man sich so überlegen:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \cdots \frac{1+(n-1)}{3+(n-1)}$

im Zähler sieht man dass das einfach $n!$ ist und im Nenner $(n+2)!$ wobei $1\cdot2$ ausgenommen werden sollen, also schreibt man diese einfach in den Zähler um sie rauszukuerzen.

$\frac{n! \cdot 1 \cdot 2}{(n+2)!}$

schliesslich kann man noch $n!$ rauskürzen und kommt auf das oben stehende Ergebnis. [ (n+2)! = n! * (n+1) * (n+2) ]

• Ergibt im Endeffekt: $x_n^{(h)} = C * \frac{2}{(n+1)(n+2)}$

Anmerkung von --Matmö 22:25, 15. Jun. 2010 (CEST): Bei uns in der Übungsgruppe wurde das auch so wie oben vorgerechnet, aber es ist laut unserem Ü-Leiter nicht notwendig, die Angabe umzuformen. Man kann statt dessen einfach die Indizies der Lösungsformel anpassen:

$a_n = \frac{n}{n+2} * a_{n-1} = \prod_{i=1}^{n}\frac{i}{i+2} * a_0 = \frac{n! * 1 * 2 * a_0}{(n + 2)!} = \frac{2a_0}{(n+2)(n+1)}$

Partikulaere Loesung der inhomogenen Gleichung

Diesmal mit der Methode der Variation der Konstanten. Daher gilt: $x_n^{(p)} = C_n * \frac{2}{(n+1)(n+2)}$

Nun wird die $x_n^{(p)}$ in die Angabe eingesetzt:

$C_{n+1} * \frac{2}{(n+2)(n+3)} = C_n * \frac{2}{(n+1)(n+2)} * \frac{n+1}{n+3} + \frac {1}{n^2 + 5n + 6}$

Nun wird durch den Multiplicator von $C_{n+1}$ dividiert, was die Gleichung gleich wesentlich vereinfacht:

$C_{n+1} = C_n * \frac{\frac{2(n+1)}{(n+1)(n+2)(n+3)}}{\frac{2}{(n+2)(n+3)}} + \frac{\frac {1}{n^2 + 5n + 6}}{\frac{2}{(n+2)(n+3)}} = C_n * \frac{2(n+1) * (n+2)(n+3)} {(n+1)(n+2)(n+3) * 2} + \frac{1*(n+2)(n+3)}{(n^2 + 5n + 6)*2} = C_n+\frac{1}{2}$

Daraus folgt: $C_n = \frac{1}{2}*n = \frac{n}{2}$ und die partiklulaere Loesung der inhomogenen Gleichung ist somit:

$x_n^{(p)} = C_n * \frac{2}{(n+1)(n+2)} = \frac{n}{2} * \frac{2}{(n+1)(n+2)} = \frac{n}{(n+1)(n+2)}$

Loesung

Die Loesung ist somit:

$x_n = x_n^{(h)} + x_n^{(p)} = C * \frac{2}{(n+1)(n+2)} + \frac{n}{(n+1)(n+2)} = \frac{2C+n}{(n+1)(n+2)}$

Links

ähnliche Beispiele:

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