TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 219

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Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differenzengleichungen

(a) x_{n+2} - 7x_{n+1} + 12x_n = 0

(b) x_{n+2} + x_{n+1} + x_n = 0

(c) x_{n+2} - 8x_{n+1} + 16x_n = 0

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

(a)[Bearbeiten]

x_{n+2}-7x_{n+1}+12x_n = 0

die Charakteristische Gleichung ist somit:

{\lambda}^{2}-7{\lambda}+12

mit der Lösung:

{\lambda}_{1,2}=\left\{ 3,4\right\}

Die Lösung der Gleichung hat also die Form:

x_n=C_1 \cdot 3^n+C_2 \cdot 4^n , C_1,C_2 \in  \mathbb R

(b)[Bearbeiten]

Charakteristische Gleichung[Bearbeiten]

 \lambda^2 + \lambda + 1 = 0

 \lambda_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} - 1}

 \lambda_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{-\frac{3}{4}}

 \lambda_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{-3}

 \lambda_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{3}i

Polarkoordinaten r[Bearbeiten]

 r = |z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1

Polarkoordinaten \phi[Bearbeiten]

Mit Hilfe des Arkustangens kann  \phi wie folgt im Intervall (-\pi,\pi] bestimmt werden:

 \varphi = \begin{cases}
\arctan\frac{b}{a} & \mathrm{f\ddot ur}\ a > 0\\
\arctan\frac{b}{a} + \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ a < 0,\ b \geq 0\\
\arctan\frac{b}{a} - \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ a < 0,\ b < 0\\
+\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ a = 0,\ b > 0\\
-\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ a = 0,\ b < 0\\
\end{cases}

 \Rightarrow \phi_{\lambda_1} = \arctan\frac{b}{a} + \pi = \arctan\frac{\sqrt3}{-1} + \pi = -\frac{\pi}3 + \pi = \frac{2\pi}3

 \Rightarrow \phi_{\lambda_2} = \arctan\frac{b}{a} - \pi = \arctan\frac{-\sqrt3}{-1} - \pi = \frac{\pi}3 - \pi = -\frac{2\pi}3

Da \cos \phi und \sin\phi unabhaengig vom Vorzeichen sind gilt

 \lambda_{1,2} = r(\cos \phi \pm i \sin \phi) = 2 (\cos \frac{2\pi}3 \pm i \sin \frac{2\pi}3)

Die Allgemeine Loesung lautet:

 x_n = 1^n (C_1 \cos \frac{2\pi}{3}n + C_2 \sin \frac{2\pi}{3}n) \quad \text{mit} \quad C_1,C_2 \in \mathbb R

Sollte jetzt so passen! --Jules 22:50, 30. Mai 2011 (CEST)

(c)[Bearbeiten]

Charakteristische Gleichung[Bearbeiten]

 \lambda^2 -8\lambda + 16 = 0

 \lambda_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{-8^2 - 4\cdot16} }{2}

 \lambda_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{0} }{2}

 \lambda_{1,2} = 4

 a^2-4b = 0 \Rightarrow die allgemeine Loesung ist

 x_n = C_1\lambda_1^n + C_2n\lambda_1^n=(C_1+C_2n)\lambda_1^n \quad \text{mit} \quad C_1, C_2 \in \mathbb R

 \Rightarrow x_n = (C_1+C_2n)4^n

Links[Bearbeiten]

  • Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 211