TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 223

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Gesucht ist die allgemeine Lösung der Differenzengleichung

x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_n=8+3^n,\quad n=0,1,2,\ldots

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

homogene Lösung[Bearbeiten]

x_{n+2}-6x_{n+1}+9x_n=0 mittels Ansatz \lambda^2+a\lambda+b=0:

\lambda^2-6\lambda+9=0 \Rightarrow \lambda_{1,2}=3

Da \lambda_1 = \lambda_2 reell folgt

\begin{align} x_n^{(h)}
&= (C_1+C_2n)\lambda_1^n \\
&= (C_1+C_2n)3^n \\
&= C_1 3^n + C_2 3^n n
\end{align}

Störfunktion (1)[Bearbeiten]

s_n^{(1)} = 8

Versuchslösung ist daher x_n^{(1)} = A.

\begin{align}
A_1 - 6A_1 + 9A_1 &= 8 \\
4A_1 &= 8 \\
A_1 &= 2 \Rightarrow x_n^{(1)} = 2
\end{align}

Störfunktion (2)[Bearbeiten]

s_n^{(2)} = 3^n

Versuchslösung ist daher x_n^{(2)} = Ar^n. Da sowohl A_23^n und A_23^nn bereits Teil der homogenen Lösung sind, nehmen wir A_23^nn^2 und setzen in die inhomogene Gleichung ein.

\begin{align}
A_23^{n+2}(n+2)^2-6A_23^{n+1}(n+1)^2+9A_23^nn^2 &= 3^n \\
A_29(n+2)^2-18A_2(n+1)^2+9A_2n^2 &= 1 \\
A_2 \left( 9(n^2+4n+4)-18(n^2+2n+1)+9n^2 \right) &= 1 \\
A_2 \left( 36n+36-36n-18 \right) &= 1 \\
18A_2 &= 1 \\
A_2 &= \frac{1}{18} \Rightarrow x_n^{(2)} = \frac{1}{18}3^nn^2
\end{align}

allgemeine Lösung[Bearbeiten]

\begin{align} x_n
&= x_n^{(h)} + x_n^{(1)} + x_n^{(2)} \\
&= C_1 3^n + C_2 3^n n + 2 + \frac{1}{18}3^nn^2 \\
&= \left( C_1 + C_2 n + \frac{n^2}{18} \right) 3^n + 2
\end{align}

Links[Bearbeiten]