TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 293

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Man bestimme im Graphen G_{9} mit Hilfe von A^{3}_{G_{9}} die Anzahl der Dreiecke (d.h. die Anzahl der Kreise der Länge 3).

Bsp198 1.gif

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

A^{3}_{G_{9}} ist die Adjazenzmatrix von G_{9} zur dritten Potenz.

Lemma:

Sei G ein gerichteter Graph mit Adjazenzmatrix A. Dann ist der (i,j).Eintrag von A^x gleich der Anzahl der verschiedenen Kantenzüge mit Startknoten i und Endknoten j,welche aus x Kanten bestehen.

Adjazenzmatrix A_{G_{9}}=
\begin{array}{cc} & 
\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\end{array}\\
\begin{array}{r}1\\2\\3\\4\end{array} & 
\left(\begin{array}{cccc}
0&1&1&1\\
1&0&1&1\\
1&1&0&1\\
1&1&1&0
\end{array}\right)
\end{array}

Potenzieren von Matrizen:

Quadratische Matrizen können potenziert werden; A^3=A\cdot A\cdot A

(siehe auch Wikipedia)

Multiplizieren von Matrizen:

c_{ij}=\sum^m_{k=1}a_{ik}\cdot b_{kj}

(siehe auch Wikipedia)

Kubizierte Adjazenzmatrix: A^{3}_{G_{9}}=
\begin{array}{cc} & 
\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \end{array}\\
\begin{array}{r}1\\2\\3\\4\end{array} & 
\left(\begin{array}{cccc}
6&7&7&7\\
7&6&7&7\\
7&7&6&7\\
7&7&7&6
\end{array}\right)
\end{array}

Wir suchen nach Kreisen im Graphen, d.h. Kantenzüge mit gleichem Start- und Endknoten; das sind genau diejenigen, die die Hauptdiagonale der Adjazenzmatrix bilden.

Man kommt also auf 6 + 6 + 6 + 6 = 24 Kreise (der Länge 3).

Hier bilden aber etliche Kreise dasselbe Dreieck ab: (abc)=(acb)=(bac)=(bca)=(cab)=(cba), sprich alle Permutationen der drei jeweils beteiligten Knoten.

Um auf die Anzahl der Dreiecke zu kommen, sollte man also die Anzahl der Kreise durch die Anzahl der mögl. Permutationen dividieren:

\frac{6+6+6+6}{3!}=4 Dreiecke.

--Zool 19:55, 23. Nov 2008 (CET)

Links[Bearbeiten]