TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 435

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Man bestimme mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen alle Lösungen von \overline{2}x^2+x+\overline{7}=\overline{0} über dem Körper \mathbb{Z}_{13}.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Es existiert ein Programm-Entwurff (als Text) zur Suche der Restklassen-Elemente.
Große Lösungsformel
Große Lösungsformel[Bearbeiten]

ax^2+bx+c=0\quad\Longrightarrow\quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Restklassen
Restklassen[Bearbeiten]

Restklassen modulo m:

\overline{a}=\lbrace a+km|k\in\mathbb{Z}\rbrace_{m}

Restklassenring
Restklassenring[Bearbeiten]

Allgemein gilt:

Eine Restklassenring R_m bildet einen Körper, wenn m prim (ansonsten existiert i.A. kein multiplikatives Inverses).

Lösung von Hapi[Bearbeiten]

Da man mit mit Restklassen rechen kann, sollte man für b = 1 mod 13 wie folgt einsetzen:

Das ergibt dann nach der Formel (die Restklassen darf ich ja in 13-er Schritten erweitern!)

\quad x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4*2*7}}{2*2} = \frac{-1\pm\sqrt{(1+13*7)-56}}{4} = \frac{-1\pm\sqrt{36}}{4}  = \frac{(-1+13*3)\pm6}{4} = \frac{38\pm6}{4}  = 11 bzw. 8.

Das Einsetzen der Werte ergibt folgende Gleichungen mit Restklassen:

2*11² + (-20*13) + 11 +7 = -18 + 11 + 7 = 0 bzw. 2*8² + (-11*13) + 8 + 7 =

-15 + 8 +7 = 0

denn -20*13 und -11*13 sind zulässige Erweiterungen bei Modulo 13.

QED

Hapi

PS: Dies ist nur ein skizzierter Lösungsweg, die Restklassenstriche bitte dazudenken. Rechnerisch stimme ich mit der formal schöneren Lösung von Baccus (Beispiel 310, Beispiel 311) vollkommen überein. Der einzige Unterschied liegt darin, wie wir die Angabe interpretieren. Baccus meint die Lösung seien Restklassen und führt auch sehr überzeugende Argumente dafür an, ich bin eher etwas mißtrauisch da die x in der Angabe ohne Restklassenstriche sind. Würde daher vorschlagen, auf beide Möglichkeiten vorbereitet zu sein, denn beide Versionen erfüllen die Gleichung. Die Restklassen wären bei Modulo 13 zugleich auch obige Lösung (11 bzw. 8).


Die Entscheidung ist gefallen, das Ergebnis sind doch Restklassen, der Schlüsses ist "alle Lösungen" und das kann nicht nur eine sein, somit eine Restklasse.

Hapi

Links[Bearbeiten]

Wikipädia:

Ähnliche Beispiele: