TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 536

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Man untersuche die Lösbarkeit des folgenden Gleichungssystems und berechne gegebenenfalls alle Lösungen:


\begin{align}
   x_1 & + &2\cdot x_2 & - &  x_3 & + & x_4 & = & 2 \\
3 \cdot x_1 & + & x_2 & - & 2 \cdot  x_3 & + & 4\cdot  x_4 & = & 2 \\
- x_1 & + & 4 \cdot x_2 & + & 3 \cdot  x_3 & - & 3\cdot  x_4 & = & 2 \\
2 \cdot x_1 & + &4 \cdot x_2 & & & + &  x_4 & = & 1
\end{align}


eine Frage: wie bestimmt man die Lösbarkeit überhaupt? Die Gleichung rg(A)=rg(A*b) muss stimmen, oder? Überprüft ihr das in dieser Lösung?

Lösungsvorschlag von Hapi[Bearbeiten]

1. Schritt: Eliminiere alle x_1, indem man die erste Zeile 3x von der 2. Abzieht, 1x zur dritten addiert und 2x von der 4 abzieht.


\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 1 &|& 2 \\ 3 & 1 & -2 & 4 &|&2 \\ -1 & 4 & 3 & -3 &| &2\\2 & 4 & 0 & 1 &| & 1 \end{pmatrix} \Longleftrightarrow 
\begin{align}
  x_1 & + &2\cdot x_2 & - &  x_3 & + & x_4 & = & +2 \\
  3 \cdot x_1 & + & x_2 & - & 2 \cdot  x_3 & + & 4\cdot  x_4 & = & +2 & &-3* 1. Zeile\\
  - x_1 & + & 4 \cdot x_2 & + & 3 \cdot  x_3 & - & 3\cdot  x_4 & = & +2 & &+1* 1. Zeile \\
  2 \cdot x_1 & + &4 \cdot x_2 & & & + &  x_4 & = & +1 && -2* 1. Zeile
\end{align}

gibt

 \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 1 &|& 2 \\ 0 & -5 & 1 & 1 &|& -4 \\ 0 & 6 & 2 & -2 &| & 4\\0 & 0 & 2 & -1 &| & -3 \end{pmatrix} \Longleftrightarrow 
\begin{align}
  x_1 & + &2\cdot x_2 & - &  x_3 & + & x_4 & = & +2 \\
  & - &5 \cdot x_2 & + &  x_3 & + &  x_4 & = & -4 && (2-3*2)\\
  & + & 6 \cdot x_2 & + & 2 \cdot  x_3 & - & 2\cdot  x_4 & = & +4 & & (2+1*2)\\
  &   & &  & 2 \cdot x_3 & - &  x_4 & = & -3 & & (1-2*2)
\end{align}

2. Schritt: wir erzeugen ein x_2, indem wir die 2. Zeile zur 3. Zeile addieren und im nächsten Schritt Zeile 2 und 3 vertauschen.

 
\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 1 &|& 2 \\ 0 & -5 & 1 & 1 &|& -4 \\ 0 & 6 & 2 & -2 &| & 4\\0 & 0 & 2 & -1 &| & -3 \end{pmatrix} \Longleftrightarrow 
\begin{align}
  x_1 & + &2\cdot x_2 & - &  x_3 & + & x_4 & = & +2 \\
  & - &5 \cdot x_2 & + &  x_3 & + &  x_4 & = & -4 && \\
  & + &  x_2 & + & 3 \cdot  x_3 & - &  x_4 & = & +0 & & (4+1*-4)\\
  &   & &  & 2 \cdot x_3 & - &  x_4 & = & -3 & &
\end{align}

gibt

 \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 1 &|& 2 \\ 0 & 1 & 3 & -1 &|& 0 \\ 0 & -5 & 1 & 1 &| & -4\\0 & 0 & 2 & -1 &| & -3 \end{pmatrix} \Longleftrightarrow 
\begin{align}
  x_1 & + &2\cdot x_2 & - &  x_3 & + & x_4 & = & +2 \\
  & + &  x_2 & + & 3 \cdot  x_3 & - &  x_4 & = & +0 & & (2-3 Zeile)\\
  & - &5 \cdot x_2 & + &  x_3 & + &  x_4 & = & -4 && \\
  &   &  &  & 2 \cdot x_3 & - &  x_4 & = & -3 & &
\end{align}

3. Schritt: wir eliminieren x_2 in der 3. Zeile, indem wir ein vielfaches der 2. Zeile verwenden und multiplizieren die 4. Zeile mit -1.

 
\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 1 &|& 2 \\ 0 & 1 & 3 & -1 &|& 0 \\ 0 & 0 & 16 & -4 &| & -4\\0 & 0 & -2 & 1 &| & 3 \end{pmatrix} \Longleftrightarrow 
\begin{align}
  x_1 & + &2\cdot x_2 & - &  x_3 & + & x_4 & = & +2 \\
& + &  x_2 & + & 3 \cdot  x_3 & - &  x_4 & = & +0 & & \\
  &  & & + & 16 \cdot x_3 & - & 4 \cdot x_4 & = & -4 && (5*2. Zeile)\\
  &   &  & -& 2 \cdot x_3 &  &  x_4 & = & 3 & &
\end{align}

4. Schritt: 3. Zeile und 4. Zeile vertauschen, dann 3. und 4. Spalte.

 
\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & -1 &|& 2 \\ 0 & 1 & -1 & 3 &|& 0 \\0 & 0 & 1 & -2 &| & 3 \\ 0 & 0 & -4 & 16 &| & -4 \end{pmatrix} \Longleftrightarrow 
\begin{align}
  x_1 & + &2\cdot x_2 & + &  x_4 & - & x_3 & = & +2 \\
  & + &  x_2 &  - &  x_4 & + & 3 \cdot  x_3 &= & +0 & & \\
  &   & & +&   x_4 &+& 2 \cdot x_3 &   = & 3 & & (3. u. 4. Zeile)\\
  &  & &   - & 4 \cdot x_4& + & 16 \cdot x_3 & = & -4 &&(3. u. 4. Spalte) 
\end{align}

5. Schritt: 4. Zeile x_4 auslöschen.

 
\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & -1 &|& 2 \\ 0 & 1 & -1 & 3 &|& 0 \\0 & 0 & 1 & -2 &| & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 8 &| & 8 \end{pmatrix} \Longleftrightarrow 
\begin{align}
  x_1 & + &2\cdot x_2 & + &  x_4 & - & x_3 & = & +2 \\
  & + &  x_2 &  - &  x_4 & + & 3 \cdot  x_3 &= & +0 & & \\
  &   & & +&   x_4 &+& 2 \cdot x_3 &   = & 3 & & \\
  &  & &    &  & + & 24 \cdot x_3 & = & 8 &&(+4*3. Zeile) 
\end{align}

6. Schritt: 4. Zeile durch 24 dividieren und auf Halbdiagonalform bringen

 
\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & -1 &|& 2 \\ 0 & 1 & -1 & 3 &|& 0 \\0 & 0 & 1 & -2 &| & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &| & 1 \end{pmatrix} \Longleftrightarrow 
\begin{align}
  x_1 & + &2\cdot x_2 & + &  x_4 & - & x_3 & = & +2 \\
  & + &  x_2 &  - &  x_4 & + & 3 \cdot  x_3 &= & +0 & & \\
  &   & & +&   x_4 &+& 2 \cdot x_3 &   = & 3 & & \\
  &  & &    &  & + &  x_3 & = & 1/3 &&(4. Zeile *1/24) 
\end{align}

7. Schritt: Einheitsmatix erzeugen


\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & -1 &|& 2 \\ 0 & 1 & -1 & 3 &|& 0 \\0 & 0 & 1 & -2 &| & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &| & 1 \end{pmatrix} \Longrightarrow
\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 0 &|& 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 &|& 5 \\0 & 0 & 1 & 0 &| & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &| & 1 \end{pmatrix} \Longrightarrow
\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 &|& -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 2 \\0 & 0 & 1 & 0 &| & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &| & 1 \end{pmatrix} \Longrightarrow
\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 &|& -6 \\ 0 & 1 & 0 & 0 &|& 2 \\0 & 0 & 1 & 0 &| & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &| & 1 \end{pmatrix}

Somit wäre so kein Rechenfehler passiert ist, folgende Lösung gegeben: x_1=-6 , x_2=2 ,  x_4=5 und x_3=1

Da x_3 und x_4 vertauscht wurden (Spaltenvertauschung!!), sind sie wieder zurückzutauschen. Um darauf aufmerksam zu machen, wurde das Geleichungssystem parallel mitgeführt.

Das ergibt nur eine Lösung, den Vektor: \begin{pmatrix} -6 \\  2 \\  1 \\  5 \end{pmatrix}

Kommentar von nunia3: Ich hab einen Vorzeichefehler gefunden und gleich ausgebessert. Jetzt stimmts. Anmerkung von Hapi: Hab die Vorzeichenfehler im rechten Gleichungssystem korrigiert, sorry!

Links[Bearbeiten]

  • siehe Diskussion Informatik WS07 Beispiel 397 und WS07 Beispiel 397 und 401