TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 542

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Wir betrachten Systeme von drei Ebenengleichungen f_{i}(x, y, z) = a_{i1} x + a_{i2} y + a_{i3} z = b i mit Lösungsmengen L_{i} \subseteq \R^3, i = 1,2,3. Geben Sie jeweils eine Systemmatrix


 \begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_{1} \\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_{2} \\
  a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_{3} 
 \end{pmatrix}

mit geeigneten a_{ij} und b_{i} aus \R so an, dass die L_{i} folgende Lage zueinander haben:

(a) L_{1} \cap L_{2} \cap L_{3} = {(1,1,1)}

(b) L_{1} \cap L_{2} \cap L_{3} = \emptyset, und alle drei Schnitte L_{1} \cap L_{2}, L_{1} \cap L_{3} und L_{2} \cap L_{3} sind eindimensional und parallel zur z-Achse.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

von --Piri (Diskussion) 20:03, 29. Dez. 2018 (CET)

(a) Da es nur eine Lösung gibt müssen die 3 Ebenengleichungen linear unabhängig sein. Weiters, muss x=y=z=1 eine Lösung für alle 3 Gleichungen sein. D.h. man muss nur Koeffizienten finden, sodass die Systemmatrix eindeutig lösbar ist. Man sieht schnell dass die kanonischen Basisvektoren als Spaltenvektoren und b_{1}=b_{2}=b_{3}=1 diese Eigenschaften erfüllen:


\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{pmatrix}

(b) Aus der Angabe ergeben sich 3 Bedingungen:

1. Je zwei Zeilenvektoren sind zueinander linear unabhängig (sonst wären sie geschnitten keine Gerade)

2. a_{13}=a_{23}=a_{33}=0, da sonst die Ebenen geschnitten keine Gerade parallel zur Z Achse ergeben würden.

3. Das gesamte Gleichungssystem ist nicht lösbar, also  rg(A \ b) > rg(A)

Es ist wieder hilfreich sich zuerst die Kanonische Basis aufzuschreiben und sie dann so abzuwandeln bis man zum Ergebnis kommt:


\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}