TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 572

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Sei

A = \begin{pmatrix}-2 & 4 & 0 \\ 5 & -1 & 7 \\ 2 & 0 & 3\end{pmatrix}.

Man zeige, dass A nichtsingulär ist und berechne A^{-1}. Schließlich ermittle man A*A^{-1} und A^{-1}*A und

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Nachweis, daß A ist nichtsingulär ist[Bearbeiten]

Damit ich sichergehen kann, dass A invertierbar ist, muss ich zeigen, dass die Determinante nicht Null ist.

A = \begin{pmatrix}-2 & 4 & 0 \\ 5 & -1 & 7 \\ 2 & 0 & 3\end{pmatrix} (-2)*(-1)*3 + 4*7*2 + 0 - 0 - 4*5*3 -0 = 6 + 56 + 0 - 0 - 60 = \mathit{2}.

Die Invertierbarkeit ist daher gegeben!

(Determinante nach der Regel von Sarrus mit der Formel det(A) = \begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\end{pmatrix} = a_{1,1}*a_{2,2}*a_{3,3} + a_{1,2}*a_{2,3}*a_{3,1} + a_{1,3}*a_{2,1}*a_{3,2} - a_{1,3}*a_{2,2}*a_{3,1} - a_{1,2}*a_{2,1}*a_{3,3} - a_{1,1}*a_{2,3}*a_{3,2} berechnet)

Berechnung der Inversen (mit Hilfe der Determinante)[Bearbeiten]

Siehe z.B. auch den entsprechenden Wikipedia-Eintrag!

Die Inverse lässt sich mit Hilfe der Determinanten der Matrix berechnen, und zwar nach der Formel

  A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot A^\dagger,

dabei ist A^\dagger die komplementäre Matrix zu A (auch algebraisches Komplement genannt).

Die Transponierte der aus den vorzeichenbehafteten Minoren bestehende Matrix bezeichnet man als die zu A komplementäre Matrix A#:

A^{\sharp} :=
 \begin{pmatrix}
           +\det(A_{1,1}) &  -\det(A_{2,1}) & \ldots & (-1)^{1+n}\det(A_{n,1}) \\
           -\det(A_{1,2}) &  +\det(A_{2,2}) & \ldots & (-1)^{2+n}\det(A_{n,2}) \\
              \vdots      &     \vdots      & \ddots &         \vdots          \\
  (-1)^{n+1}\det(A_{1,n}) & (-1)^{n+2}\det(A_{2,n}) & \ldots &  +\det(A_{n,n})
 \end{pmatrix}

Als erstes benötigen wir eine Art "Vorzeichenmuster": \begin{pmatrix}+ & - & + \\ - & + & - \\ + & - & +\end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix}-2 & 4 & 0 \\ 5 & -1 & 7 \\ 2 & 0 & 3\end{pmatrix}.

A^{\dagger} = \begin{pmatrix}\begin{vmatrix}-1 & 7 \\ 0 & 3\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}5 & 7 \\ 2 & 3\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}5 & -1 \\ 2 & 0\end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix}4 & 0 \\ 0 & 3\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}-2 & 0 \\ 2 & 3\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1 & -4 \\ 2 & 0\end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix}-4 & 0 \\ -2 &-7\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}-2 & 0 \\ 5 & 7\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}-2 & 4 \\ 5 & -1\end{vmatrix}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -1 & 2 \\ -12 & -6 & 8 \\28 & 14 & -18\end{pmatrix}.

Die Matrix muss nun transponiert werden:

A^\dagger = \begin{pmatrix} -3 & -12 & 28 \\ -1 & -6 & 14 \\ 2 & 8 & -18\end{pmatrix}.

Somit erhalten für die inverse Matrix von A:

  A^{-1} = \frac{1}{2} \cdot A^\dagger = \begin{pmatrix} -1,5 & -6 & 14 \\ -0,5 & -3 & 7 \\1 & 4 & -9\end{pmatrix},

Berechnung der Inversen (mit Hilfe des Gauss-Verfahrens)[Bearbeiten]

Auch mit dem Gauss'schen Eliminatiosnverfahren kann die Inverse berechnet werden (wird hier nicht behandelt!).

Berechnung von A*A^(-1) und A^(-1)*A[Bearbeiten]

Falk-Methode[Bearbeiten]

Das Falksche Schema ist eine Tabelle, die eine optische Hilfe bei der Matrizenmultiplikation von Hand bietet. Der linke Faktor, die (m × r)-Matrix, wird links von der (m × n)-Ergebnismatrix und der rechte Faktor, die (r × n)-Matrix, wird oberhalb der Ergebnismatrix platziert. Wo sich die ite Zeile des linken Multiplikanden und die jte Spalte des rechten Multiplikanden kreuzen, wird das entsprechende Skalarprodukt eingetragen.

Gegeben sind die Matrizen

A_{3 \times 2 } =
  \begin{pmatrix} 
    1 & 4 \\ 
    2 & 5 \\
3 & -6 
  \end{pmatrix} und B_{2 \times 2 }=
  \begin{pmatrix} 
    -1 & 1 \\
    1 & -2 \\ 
  \end{pmatrix} .

Es soll das Produkt C = A · B ermittelt werden. C ist eine 3 × 2-Matrix.

         

Spalte j

1

2

-1

1

Zeile i

      

      

1

-2

1

1

4

2

2

5

3

3

-6

Es wird das Falksche Schema aufgestellt.

         

Spalte j

1

2

-1

1

Zeile i

      

      

1

-2

1

1

4

3

2

2

5

3

3

-6

Die erste Zeile von A wird elementweise mit der ersten Spalte von B multipliziert: 1 · (-1) + 4 · 1 = 3 und ergibt das Element c11 = 3.

         

Spalte j

1

2

-1

1

Zeile i

      

      

1

-2

1

1

4

3

-7

2

2

5

3

3

-6

Die erste Zeile von A wird elementweise mit der zweiten Spalte von B multipliziert: 1 · 1 + 4 · (-2) = -7 und ergibt das Element c12 = -7.

...

         

Spalte j

1

2

-1

1

Zeile i

      

      

1

-2

1

1

4

3

-7

2

2

5

3

-8

3

3

-6

-9

15

Die dritte Zeile von A wird elementweise mit der zweiten Spalte von B multipliziert: 3 · 1 + (-6) · (-2) = 15 und ergibt das Element c32 = 15.

A * A^-1[Bearbeiten]

A*A^{-1}=\begin{pmatrix}-2 & 4 & 0 \\ 5 & -1 & 7 \\ 2 & 0 & 3\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} -1,5 & -6 & 14 \\ -0,5 & -3 & 7 \\1 & 4 & -9\end{pmatrix}

Nach dem Falkschem Schema ergibt sich:

\begin{matrix}
& & & -1,5 & -6 & 14 \\
& & & -0,5 & -3 & 7 \\
& & & 1 & 4 & -9 \\
-2 & 4 & 0 & \mathit{1} & \mathit{0} & \mathit{0}\\
5 & -1 & 7 & \mathit{0} & \mathit{1} & \mathit{0} \\
2 & 0 & 3 & \mathit{0} & \mathit{0} & \mathit{1} \\
\end{matrix}

A*A^{-1}=\begin{pmatrix}-2 & 4 & 0 \\ 5 & -1 & 7 \\ 2 & 0 & 3\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} -1,5 & -6 & 14 \\ -0,5 & -3 & 7 \\1 & 4 & -9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}

A^-1*A[Bearbeiten]

A^{-1}*A=\begin{pmatrix} -1,5 & -6 & 14 \\ -0,5 & -3 & 7 \\1 & 4 &  9\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-2 & 4 & 0 \\ 5 & -1 & 7 \\ 2 & 0 & 3\end{pmatrix}

Nach dem Falkschem Schema ergibt sich:

\begin{matrix}
& & & -2 & 4 & 0 \\
& & & 5 & -1 & 7 \\
& & & 2 & 0 & 3 \\
-1,5 & -6 & 14 & \mathit{1} & \mathit{0} & \mathit{0}\\
-0,5 & -3 & 7 & \mathit{0} & \mathit{1} & \mathit{0} \\
1 & 4 & -9 & \mathit{0} & \mathit{0} & \mathit{1} \\
\end{matrix}

A^{-1}*A=\begin{pmatrix} -1,5 & -6 & 14 \\ -0,5 & -3 & 7 \\1 & 4 & -9\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-2 & 4 & 0 \\ 5 & -1 & 7 \\ 2 & 0 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}