TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 573

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Nur teilweise gelöst: b) fehlt

a) Für welche x \in \mathbb{Q} ist die Matrix A singulär?

A = \begin{pmatrix}x & 2 & 2 \\ 1 & 1 & x \\ 1 & x & -1\end{pmatrix}

b) Bestimmen Sie für x = 1 die inverse Matrix A^{-1}.

a) Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Eine Matrix, die nicht invertierbar ist, wird singulär genannt. Bei einer solchen ist die Determinante also 0.

Zu zeigen ist nun, für welches x \in \mathbb{Q} die vorliegende Matrix nun singulär ist!

det(A) = x\cdot 1\cdot (-1) + 2 \cdot x \cdot 1 + 2 \cdot x \cdot 1 - 2\cdot 1\cdot 1 -2\cdot 1\cdot (-1) - x^3 = -x + 2\cdot x + 2\cdot x -2 + 2 - x^3 = 3\cdot x - x^3

(Determinante nach der Formel det(A) = \begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\end{pmatrix} = a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3} + a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1} + a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2} - a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1} - a_{1,2}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,3} - a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2} berechnet)

Die Matrix ist singulär für 3\cdot x - x^3 = 0 (entspricht x\cdot (3 - x^2) = 0).

  • x_1 = 0
  • 3 - x^2 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad x_2 = +\sqrt{3} \qquad \Rightarrow \qquad x_2 \notin \mathbb{Q}
  • 3 - x^2 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad x_3 = -\sqrt{3} \qquad \Rightarrow \qquad x_3 \notin \mathbb{Q}

(D.h. die Matrix ist invertierbar für alle x \in \mathbb{Q}\backslash\{0\})